[AcWing 204] 表达整数的奇怪方式

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#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL exgcd(LL a, LL b, LL & x, LL & y)
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
LL inline mod(LL a, LL b)
{
    return ((a % b) + b) % b;
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    LL a1, m1;
    cin >> a1 >> m1;
    bool has_answer = true;
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++) {
        LL a2, m2;
        cin >> a2 >> m2;
        LL k1, k2;
        LL d = exgcd(a1, a2, k1, k2);
        if ((m2 - m1) % d) {
            has_answer = false;
            break;
        }
        k1 *= (m2 - m1) / d;
        LL t = a2 / d;
        k1 = mod(k1, t);
        m1 = a1 * k1 + m1;
        a1 = abs(a1 / d * a2);  // 最小公倍数
    }
    if (has_answer) {
        cout << mod(m1, a1) << endl;
    }
    else    puts("-1");
    return 0;
}

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1. 中国剩余定理
   
   ① 计算所有模数的乘积 $n$
   ② 对于第 $i$ 个方程，计算 $m_i = \frac{n}{n_i}$，计算 $m_i$ 在模 $n_i$ 意义下的逆元 $m^{-1}$，计算 $c_i = m_i \cdot m_i^{-1}$
   ③ 方程组的唯一解为：$x = \sum^{k}_{i=1} a_i \cdot c_i \ (mod \ \ n)$
2. 扩展中国剩余定理
   ① 对于每两个式子 $x \equiv m_1 ( \bmod a_1)$ ，$x \equiv m_2 ( \bmod a_2)$ ，可以写成 $x = k_1 \cdot a_1 + m_1$ ，$x = k_2 \cdot a_2 + m_2$ ，右边两个式子都等于 $x$ ，可以得到 $k_1 \cdot a_1 + m_1 = k_2 \cdot a_2 + m_2$ ，整理得到 $k_1 \cdot a_1 + k_2 \cdot (- a_2) = m_2 - m_1$
   ② 使用扩展欧几里得算法可得到 $k_1', k_2'$ ，使得 $k_1' \cdot a_1 + k_2' \cdot a_2 = gcd(a_1, -a_2)$ ， 若 $m_2 - m_1$ 不是 $gcd(a_1, -a_2)$ 的倍数，则说明无解；否则，记 $gcd(a_1, -a_2)$ 为 $d$ ，那么 $k_1, k_2$ 可用 $k_1', k_2'$ 表示为：$k_1 = \frac{m_2 - m_1}{d} \cdot k_1'$ ，$k_2 = \frac{m_2 - m_1}{d} \cdot k_2'$，也就是找到了 $k_1$ 和 $k_2$ 的特解
   ③ 让 $k_1 = k_1 (特解) + k \cdot \frac{a_2}{d}$ ，$k_2 = k_2 (特解) + k \cdot \frac{a_1}{d}$ ，在 $k$ 取任意值时，代入 $k_1 \cdot a_1 + k_2 \cdot (- a_2) = m_2 - m_1$ 可以发现新的 $k_1 , \ k_2$ 仍然满足等式，也就是说已经找到 $k_1 , \ k_2$ 的通解公式，要找一个最小的非负整数 $x$ ，只需让 $k_1 = k_1 \bmod \left | \frac{a_2}{d} \right | , \ k_2 = k_2 \bmod \left | \frac{a_1}{d} \right |$ ，即可找到最小的 $k_1 , \ k_2$ 的解
   ④ 将 $k_1 = k_1 + k \cdot \frac{a_2}{d}$ 代入 $x = k_1 \cdot a_1 + m_1$ 中，可得 $x = (k_1 + k \cdot \frac{a_2}{d}) \cdot a_1 + m_1 = k_1 \cdot a_1 + m_1 + k \cdot \frac{a_1 \cdot a_2}{d} = k_1 \cdot a_1 + m_1 + k \cdot lcm(a_1, a_2)$ ，令 $a_0 = lcm(a_1, a_2) , \ m_0 = k_1 \cdot a_1 + m_1$ ，那么 $x = k \cdot a_0 + m_0$ ，至此，完成了前两个方程的合并，再用新得到的方程和 $x = k_3 \cdot a_3 + m_3$ 合并，以此类推，就可以把所有的方程合并，最后得到一个式子 $x = k \cdot a + m$ ，最小正整数解为 $m \bmod a$ 对应的最小正整数余数
3. inline 是内联函数，可以解决一些频繁调用的小函数大量消耗栈空间（栈内存）的问题，inline 的使用是有所限制的，inline 只适合函数体内代码简单的函数使用，不能包含复杂的结构控制语句例如 while、switch，并且内联函数本身不能是直接递归函数（即，自己内部还调用自己的函数）。