[AcWing 878] 线性同余方程

复杂度 $O(log(n))$

总体复杂度 $10^{5} \times log(2 \times 10^{9}) \approx 4 \times 10^{6}$

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#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

int exgcd(int a, int b, int & x, int & y)
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --) {
        int a, b, m;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d)     puts("impossible");
        else    printf("%d\n", (LL)x * (b / d) % m);
    }
    return 0;
}

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1. 转化为扩展欧几里得算法
   $a \times x \equiv b \ (\bmod m)$ ，可以写成 $a \times x = m \times y + b$ ，移项 $a \times x - m \times y = b$ ，可以把负号写到 $y$ 中，即 $a \times x + m \times y = b$ ，由裴蜀定理可知当 $b$ 是 $a$ 和 $m$ 最大公约数 $gcd(a, m)$ 的倍数时，方程有解，至此，成功把线性同余方程转换成为扩展欧几里得问题
   ① 若 $b$ 不是 $a$ 和 $m$ 最大公约数 $gcd(a, m)$ 的倍数，说明方程无解
   ② 若 $b$ 是 $a$ 和 $m$ 最大公约数 $gcd(a, m)$ 的倍数，则问题等价于求出一组 $x'$ 和 $y'$ ，使得 $a \times x' + m \times y' = gcd(a, m)$ ，最后把方程两边同时乘以 $\frac{b}{gcd(a, m)}$ 就是 $a \times x + m \times y = d$ ，即 $x = x' \times \frac{b}{gcd(a, m)}$ ，最后再 $\bmod m$