[AcWing 876] 快速幂求逆元

复杂度 $O(log(k))$ （k 是指数）

总体复杂度 $10^{5} \times log(2 \times 10^{9}) \approx 4 \times 10^{6}$

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#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL qmi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1)  res = res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --) {
        int a, p;
        scanf("%d %d", &a, &p);
        if (a % p == 0)  puts("impossible");
        else    printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));
    }
    return 0;
}

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1. 乘法逆元
   
   用 $x$ 表示 $b$ 的逆元，证明如下：在 $\bmod m$ 的情况下， $\frac{a}{b} \equiv a \times x \rightarrow b \times \frac{a}{b} \equiv a \times b \times x \rightarrow a \equiv a \times b \times x \rightarrow b \times x \equiv 1$
   由费马小定理：如果 $p$ 是一个质数，而整数 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则有 $a^{p - 1} \equiv 1 \ (\ \bmod p)$
   可得 $b^{p-1} = b \times b^{p-2} \equiv 1$ ，在上面已经推出 $b \times x \equiv 1$ ，故 $b^{p-2}$ 即为 $b$ 的逆元 $x$
2. 快速幂模板
   在 $a \bmod p = 0$ 时输出 "impossible"；
   否则就用快速幂求 $a^{p-2} \bmod p$ 的值；