[AcWing 874] 筛法求欧拉函数

复杂度 $O(n)$

总体复杂度 $10^{6}$

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
typedef long long LL;
int primes[N], cnt;
int eulers[N];
bool st[N];

void get_eulers(int n)
{
    eulers[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (!st[i]) {
            primes[cnt ++] = i;
            eulers[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                eulers[primes[j] * i] = eulers[i] * primes[j];
                break;
            }
            eulers[primes[j] * i] = eulers[i] * (primes[j] - 1);
        }

    }
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    get_eulers(n);
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)   res += eulers[i];
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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1. 记 $primes[j]$ 为 $P_j$，分以下三种情况求欧拉函数：
   ① $i$ 是质数，$1$ ~ $i - 1$ 每个数都与 $i$ 互质，$\phi(i) = i - 1$；
   ② $P_j$ 是 $i$ 的质因子，由于 $i = P_1^{\alpha_1} \times P_2^{\alpha_2} \times \cdots \times P_k^{\alpha_k}$ ，$P_j$ 必是 $P_1$ ~ $P_k$ 其中的一项，那么 $P_j \times i = P_1^{\alpha_1} \times P_2^{\alpha_2} \times \cdots \times P_k^{\alpha_k}$ ，由欧拉函数公式，$\phi(P_j \times i) = P_j \times i \times (1 - \frac{1}{P_1}) \times (1 - \frac{1}{P_2}) \times \cdots \times (1 - \frac{k}{P_k}) = P_j \times \phi(i)$
   ③ $P_j$ 不是 $i$ 的质因子，由于 $i = P_1^{\alpha_1} \times P_2^{\alpha_2} \times \cdots \times P_k^{\alpha_k}$ ，$P_j$ 必不在 $P_1$ ~ $P_k$ 中，那么 $P_j \times i = P_j \times P_1^{\alpha_1} \times P_2^{\alpha_2} \times \cdots \times P_k^{\alpha_k}$ ，由欧拉函数公式，$\phi(P_j \times i) = P_j \times (1 - \frac{1}{P_j}) \times i \times (1 - \frac{1}{P_1}) \times (1 - \frac{1}{P_2}) \times \cdots \times (1 - \frac{k}{P_k}) = P_j \times (1 - \frac{1}{P_j}) \times \phi(i)$