[AcWing 872] 最大公约数

欧几里得算法（辗转相除法）

复杂度 $O(log(n))$

总体复杂度 $10^{5} \times log(2 \times 10^{9}) \approx 4 \times 10^{6}$

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#include<iostream>

using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --) {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        printf("%d\n", gcd(a, b));
    }
    return 0;
}

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1. a, b 的最大公约数记为 $(a, \ b)$，a 能整除 b 记作 $a \mid b$；
2. 重要性质： $(a, \ b) = (b , \ a \bmod b)$，证明如下：
   ① $a \bmod b = a - \left \lfloor \frac a{b} \right \rfloor \cdot b = a - c \cdot b$；
   ② 如果 $d \mid a$， $d \mid b$，那么 $d \mid (a \cdot x + b \cdot y)$；
   ③ $(b , \ a \bmod b)$ = $(b , \ a - c \cdot b)$，即证 $(a, \ b) = (b , \ a - c \cdot b)$
   从左边推右边：设 $d$ 为 $a, \ b$ 的任一公约数，$d \mid a$， $d \mid b$，则由 ② ，取 $x = 1, \ y = -c$，可推出 $d \mid (a - c \cdot b)$；
   从右边推左边：设 $d$ 为 $b, \ a - c \cdot b$ 的任一公约数, $d \mid b$， $d \mid (a - c \cdot b)$，则由 ②，取 $x = c, \ y = 1$，则 $d \mid (c \cdot b \ + \ a - c \cdot b)$，即 $d \mid a$；
3. $x \bmod 0 = x$