[AcWing 870] 约数个数

复杂度 $O(\sqrt{n})$

总体复杂度 $100 \times \sqrt{2 \times 10^{9}} \approx 4.5 \times 10^{6}$

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#include<iostream>
#include<unordered_map>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 110, mod = 1e9 + 7;
unordered_map<int, int> primes;

void solve(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
        while (x % i == 0) {
            x /= i;
            primes[i] ++;
        }
    }
    if (x > 1)  primes[x] ++;
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n --) {
        int x;
        cin >> x;
        solve(x);
    }
    LL res = 1;
    for (auto prime : primes)   res = res * (prime.second + 1) % mod;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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1. 约数个数的公式推导
   ① 由唯一分解定理可知，任何一个大于 $1$ 的自然数 $N$，如果 $N$ 不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 $N = P_1^{\alpha_1} * P_2^{\alpha_2} * \cdots * P_n^{\alpha_n}$，这里 $P_1 < P_2 < \cdots < P_n$ 均为质数，指数 $\alpha_i$ 是正数；
   ② 任何一个质数也可以写成 $N = P_1^{\alpha_1} * P_2^{\alpha_2} * \cdots * P_n^{\alpha_n}$ 的形式，只需让 $P_n = N, \alpha_n = 1, \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_{n-1}=0$；
   ③ 由 ① ② 可知对任何一个大于 1 的自然数 $N$，都可以用 $N = P_1^{\alpha_1} * P_2^{\alpha_2} * \cdots * P_n^{\alpha_n}$ 表示，其中 $P_1 < P_2 < \cdots < P_n$ 均为质数，指数 $\alpha_i$ 是非负数；（指数可以为 0 ）；
   ④ 约数个数 $M=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_n+1)$，证明如下：因为对于 $N$ 的任意一个约数 $d$ ，都有 $d = P_1^{\beta_1} * P_2^{\beta_2} * \cdots * P_n^{\beta_n}$，每一组 $\beta_1$ ~ $\beta_n$ 的组合对应一个约数，组合的个数等于约数的个数，故 $N$ 的约数个数等于 $\alpha_1$ ~ $\alpha_i$ 组合个数，对于每一个 $P_i$，指数可以取的值有 $0$ ~ $\alpha_i$，共 $\alpha_i+1$ 个，故约数个数 $M=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_n+1)$；
2. primes 的 key 是 $P_i$，value 是 $\alpha_i$，返回迭代器中的 first 代表的是 $P_i$，second 代表的是 $\alpha_i$
3. int 范围内的整数，约数个数最大为 1536；