[AcWing 868] 筛质数

埃氏筛法 复杂度 $O(n*log(log(n)))$

总体复杂度 $10^{6} \times log(log(10^{6})) \approx 5 \times 10^{6}$

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (st[i])	continue;
        primes[cnt ++] = i;
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    get_primes(n);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

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1. 每次筛到质数时，把该质数的倍数都筛掉；（由唯一分解定理，合数的因子中必然有小于它的质数，用小于它的质数必定可以把这个合数筛掉）；

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线性筛法 复杂度 $O(n)$

总体复杂度 $10^{6}$

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点击查看代码

#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (!st[i]) primes[cnt ++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    get_primes(n);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

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1. 合数 x 只会被最小质因子筛掉，（保证了每个数只会被筛一次）原因如下：
   ① primes 里面的质数是从小到大摆放；
   ② 每次筛的是 primes[ j ] * i；
   ③ 如果 i % primes[ j ] == 0，primes[ j ] 一定是 i 的最小质因子，那么 primes[ j ] 一定也是 primes[ j ] * i 的最小质因子；
   ④ 如果 i % primes[ j ] != 0，primes[ j ] 一定小于 i 的所有质因子，那么 primes[ j ] 一定也是 primes[ j ] * i 的最小质因子；
2. 合数 x 一定会被筛掉，原因如下：
   假设 primes[ j ] 是 x 的最小质因子（由唯一分解定理，一定存在），当 i 枚举到 x / primes[ j ] 时，st[ primes[ j ] * i ] = true 一定可以把 x 筛掉；

如图，当 n = 50 时，i = 2 - 9 所筛的数：

每个合数 x 只会被最小质因子筛掉，图中每一列对应一个最小质因子，所以对于一个确定的 x，最小质因子 p 所在的列是固定的，那么用 x / p 就可以得到所在的行，行列固定，x 的位置也就唯一确定了；