[AcWing 843] n-皇后问题

DFS 按行枚举 时间复杂度 $O(n!)$

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 20;
int n;
char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N];
void dfs(int u)
{
    if (u > n) {
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j <= n; j ++)
                cout << g[i][j];
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
        return ;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[u - i + n]) {
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[u + i] = udg[u - i + n] = true;
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[u + i] = udg[u - i + n] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            g[i][j] = '.';
    }
    dfs(1);
    return 0;
}

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1. g[ N ][ N ] 用来存棋盘的字符，col 用来判断这一列是否有皇后，dg 用来判断主对角线（右下倾斜的直线）是否有皇后，udg 用来判断副对角线（右上倾斜的直线）是否有皇后；
2. 主对角线可以看作是 u = - i + b，推出 b = u + i，副对角线可以看作是 u = i + b，推出 b = u - i，由于数组 udg 的下标为正值，故加上一个偏移量 n，即 b = u - i + n；

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DFS 按每个元素枚举 时间复杂度 $O(2^{n^2})$

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 20;
int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];
void dfs(int x, int y, int s)
{
    if (y > n)  y = 1, x ++;
    if (x > n) {
        if (s == n) {
            for (int i = 1; i <= n; i ++) {
                for (int j = 1; j <= n; j ++)
                    cout << g[i][j];
                cout << endl;
            }
            cout << endl;
        }
        return ;
    }
    dfs(x, y + 1, s);
    if (!row[y] && !col[x] && !dg[y + x] && !udg[y - x + n]) {
        g[x][y] = 'Q';
        row[y] = col[x] = dg[y + x] = udg[y - x + n] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        row[y] = col[x] = dg[y + x] = udg[y - x + n] = false;
        g[x][y] = '.';
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            g[i][j] = '.';
    dfs(1, 1, 0);
    return 0;
}

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1. x 用来代表横坐标，y 用来代表纵坐标，s 用来代表皇后的个数；
2. 如果 y > n，说明走到了棋盘外面，换到下一行的第一个位置，让 y = 0，x ++；
3. 如果 x > n，说明棋盘走完了，需要结束递归（无论是否满足条件都要结束），在结束前判断 s 是否等于需要放的皇后个数 n，如果相等，则把结果输出；
4. 枚举每个位置是否放皇后的情况：
   ① 如果不放皇后，则直接递归调用 dfs(x, y + 1, s)；
   ② 如果放皇后，需要满足如下的 4 个条件：同一行，同一列，同一主对角线，同一副对角线都没有皇后；