[AcWing 240] 食物链

带权并查集

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
int p[N], d[N];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) {
        int root = find(p[x]);
        d[x] += d[p[x]];
        p[x] = root;
    }
    return p[x];
}

void merge(int a, int b, int s)
{
    int pa = find(a), pb = find(b);
    d[pa] = d[b] + s - d[a];
    p[pa] = pb;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        p[i] = i;
    int res = 0;
    while (m --) {
        int t, a, b;
        cin >> t >> a >> b;
        if (a > n || b > n) {
            res ++;
            continue;
        }
        t --;
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb) {
            int s = d[pa] + d[a] - d[b];
            if ((s % 3 + 3) % 3 != t)
                res ++;
        }
        else
            merge(a, b, t);
    }
    cout << res << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 维护一个并查集的同时，记录每个节点到根节点的距离，在模 $3$ 的意义下
   ① 距离为 $0$ 表示和根节点是同类
   ② 距离为 $1$ 表示可以吃根节点
   ③ 距离为 $2$ 表示可以被根节点吃
   仔细思考这样设置的巧妙之处，由于边权是相加的关系
   ① 对于 $a$ 和 $b$ 是同类，$b$ 和 $c$ 是同类，由于 $d_{ab} = d_{bc} = 0$，那么$d_{ac} = 0$，也就是 $a$ 和 $c$ 是同类，符合实际情况
   ② 对于 $a$ 吃 $b$，$b$ 吃 $c$，由于 $d_{ab} = d_{bc} = 1$，那么 $d_{ac} = 2$，也就是 $a$ 被 $c$ 吃，这符合题干中环形的食物链条件
   ③ 对于 $a$ 被 $b$ 吃，$b$ 被 $c$ 吃，由于 $d_{ab} = d_{bc} = 2$，那么 $d_{ac} = 1$（模 $3$ 的情况下），也就是 $a$ 吃 $c$，这符合题干中环形的食物链条件
2. 判断冲突的条件：
   ① 说法中的 $a$ 或 $b$ 大于 $n$
   ② $a$ 和 $b$ 同属于一个集合，但 $a$ 和 $b$ 之间的距离不满足说法的要求（$a$ 吃 $a$ 这种矛盾也包含在其中，原因：$a$ 和 $a$ 是同类，之间的距离为 $0$，而 $a$ 吃 $a$ 这个说法，代表 $a$ 与 $a$ 之间的距离为 $1$，产生了矛盾）
3. 平行四边形法
   $d[b] + s = d[pa] + d[a]$
   对于边权的计算，可以参考下图
   

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带扩展域的并查集

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
int p[N];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void merge(int a, int b)
{
    int pa = find(a), pb = find(b);
    p[pa] = pb;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n * 3; i ++)
        p[i] = i;
    int res = 0;
    while (m --) {
        int t, a, b;
        cin >> t >> a >> b;
        if (a > n || b > n) {
            res ++;
            continue;
        }
        if (a == b) {
            if (t == 2)
                res ++;
            continue;
        }
        if (t == 1) {
            if (find(a) == find(b + n) || find(a + n) == find(b))
                res ++;
            else {
                merge(a, b);
                merge(a + n, b + n);
                merge(a + n + n, b + n + n);
            }
        }
        else {
            if (find(a) == find(b) || find(a + n) == find(b))
                res ++;
            else {
                merge(a, b + n);
                merge(a + n, b + n + n);
                merge(a + n + n, b);
            }
        }
    }
    cout << res << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 可以把 $x$，$y$，$z$ 看作是三个种类，$x$ 吃 $y$，$y$ 吃 $z$，$z$ 吃 $x$，对于集合中的一个元素 $p$，$p$ 代表 $p$ 属于 $x$ 类，$p + n$ 代表 $p$ 属于 $y$ 类，$p + n + n$ 代表 $p$ 属于 $z$ 类
2. 用扩展域的方式考虑 $a$ 和 $b$ 是同类和 $a$ 吃 $b$ 这两种说法
   对于 $a$ 和 $b$ 是同类这种说法：
   ① 如果 $a$ 属于 $x$ 类，那么 $b$ 属于 $x$ 类，将 $a$ 和 $b$ 合并集合
   ② 如果 $a$ 属于 $y$ 类，那么 $b$ 属于 $y$ 类，将 $a + n$ 和 $b + n$ 合并集合
   ③ 如果 $a$ 属于 $z$ 类，那么 $b$ 属于 $z$ 类，将 $a + n + n$ 和 $b + n + n$ 合并集合
   对于 $a$ 吃 $b$ 这种说法：
   ① 如果 $a$ 属于 $x$ 类，那么 $b$ 属于 $y$ 类，将 $a$ 和 $b + n$ 合并集合
   ② 如果 $a$ 属于 $y$ 类，那么 $b$ 属于 $z$ 类，将 $a + n$ 和 $b + n + n$ 合并集合
   ③ 如果 $a$ 属于 $z$ 类，那么 $b$ 属于 $x$ 类，将 $a + n + n$ 和 $b$ 合并集合
3. 判断冲突的条件：
   ① 说法中的 $a$ 或 $b$ 大于 $n$
   ② 说法中，$t = 2$，但 $a = b$
   ③ $t = 1$ 时，$a$ 和 $b + n$ 在同一集合（代表 $a$ 吃 $b$），或者 $a + n$ 和 $b$ 在同一集合（代表 $a$ 被 $b$ 吃）
   ③ $t = 2$ 时，$a$ 和 $b$ 在同一集合（代表 $a$ 和 $b$ 是同类），或者 $a + n$ 和 $b$ 在同一集合（代表 $a$ 被 $b$ 吃）