CF1989E Distance to Different 题解

CF1989E Distance to Different

好题。题目要求 $b$ 数组的数量，但 $b$ 数组难以直接计算，而 $b$ 数组和 $a$ 数组的映射关系并不明显。考虑分析 $b$ 的性质，并映射到其他数组。

我们发现，$b$ 数组与 $a$ 数组中元素的具体数值无关，只与 $a$ 数组中元素的不等关系有关。因此，我们考虑把 $b$ 数组映射到一个反映 $a$ 数组中元素的不等关系的数组。

记 $c_i=[a_i\ne a_{i-1}]$，特别的，不难发现 $c_1=0$。考虑将 $b$ 数组映射到 $c$ 数组。题目中要求 $k$ 个元素至少出现一次，所以至少有 $k-1$ 个 $c_i$ 等于 $1$。若至少有 $k-1$ 个 $c_i$ 等于 $1$，则一定可以构造出一个 $a$ 数组满足条件，每次不同时换新的元素即可。因此，这个 $c$ 数组是可行的，对应的 $b$ 数组也是可行的。

但是，$b$ 数组和 $c$ 数组并不是严格的双射关系。$c=[1,0,1]$ 和 $c=[1,1,1]$ 时，$b$ 数组均为 $[1,1,1]$。因此，我们需要强制舍去其中一种情况以保证双射。由于至少有 $k$ 个 $c_i$ 等于 $1$，显然应该舍去 $[1,0,1]$，这样可以获得更多的 $c_i=1$，否则可能无法满足条件。

最后，我们使用动态规划计算满足条件的 $c$ 数组数量。设状态 $f[i][j][k][l]$ 表示第 $i$ 个位置，前 $1$ 位为 $j$，这一位为 $k$，一共出现 $l$ 个 $c_i=1$ 的情况，显然有如下转移方程：

$$f[i][j][0][l]=f[i][j][0][l]+f[i-1][p][j][l]$$

$$f[i][j][1][l]=f[i][j][1][l]+f[i-1][p][j][l-1](p\ne1\lor j\ne0)$$

初始 $f[1][0][0][0]=1$，目标 $\sum_{i=0}^{1}\sum_{j=0}^{1}f[n][i][j][k-1]$。

时间复杂度 $O(nk)$，代码中采用了另一种转移方式。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long k,n,f[200001][2][2][11],ans=0;
const long long mod=998244353;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    f[1][0][0][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=1;j++)
            for(int l=0;l<=1;l++)
                for(int p=0;p<=k-1;p++)
                    for(int q=0;q<=1;q++)
                        {
                        if(j==1&&l==0&&q==1)continue;
                        if(p+q>=k)f[i][l][q][k-1]+=f[i-1][j][l][p],f[i][l][q][k-1]%=mod;
                        else f[i][l][q][p+q]+=f[i-1][j][l][p],f[i][l][q][p+q]%=mod;
                        }
    for(int i=0;i<=1;i++)
        for(int j=0;j<=1;j++)
            ans+=f[n][i][j][k-1],ans%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}