CF1967B1 Reverse Card (Easy Version) 题解

CF1967B1 Reverse Card (Easy Version)

我们发现 $b\times\gcd(a,b)$ 必然为 $b$ 的倍数，那么 $b\times\gcd(a,b)$ 的倍数 $a+b$ 也必然为 $b$ 的倍数。所以，$a$ 必然为 $b$ 的倍数。因为 $a$ 为 $b$ 的倍数，所以 $\gcd(a,b)=b$，原式可化为 $a+b=xb^2$，其中 $x$ 为正整数。

考虑枚举 $b$，原式可化为 $a=xb^2-b$。又因为 $a\le n$，则 $xb^2-b\le n$。则 $x$ 的最大值为 $\lfloor\frac{n+b}{b^2}\rfloor$，共有 $\lfloor\frac{n+b}{b^2}\rfloor$ 种取值，对应的，$a$ 也有 $\lfloor\frac{n+b}{b^2}\rfloor$ 种取值。

注意最后有 $a=1,b=1$ 这种情况会算重，需要减去 $1$。

代码实现与讲解略微不同，但本质一样。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,n,m;
int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	   {
	   	long long ans=0;
	   	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	   	for(int i=1;i<=m;i++)
	   	    {
	   	    if(n<(i-1)*i)break;
		    ans=ans+(n-(i-1)*i)/(i*i)+1;
		    }
	   	printf("%lld\n",ans-1);
	   }
	return 0;
}