CF1332E Height All the Same 题解

CF1332E Height All the Same

考虑到可以在一个格子上码上两个方块，易得如果每个格子奇偶性相同，则一定可以到达同样高度。对于任意点对 $(x,y)$，我们可以通过找到一条路，路径上可以互达的两点有一边相邻，$x\to b\to c\dots\to y$，每次增加相邻两个点，这样除了 $x,y$ 各自加 $1$，其余的点均加 $2$，奇偶性不变。

所以，我们每次可以改变两个点的奇偶性。对于 $nm$ 为奇数的情况，我们一定可以找到一种奇偶性的数有偶数个，每次修改一对为另一种奇偶性。也就是说，对于任意一种初始情况，均可以修改至完全相同。数量为 $(r-l+1)^{nm}$。

对于 $nm$ 为偶数的情况，只有奇偶数个数均为偶数时才满足要求。考虑枚举奇数数量方案数累加，运用乘法原理求出每种情况的方案数。我们先选位置，如果现在有 $i$ 个奇数，则有 $C_{nm}^{i}$ 种选法。设 $[l,r]$ 有 $a$ 个奇数，$b$ 个偶数，则奇数有 $a^i$ 种方法，偶数有 $b^{nm-i}$ 种选法。

$$\sum_{i=0,2\mid i}^{nm}C_{nm}^{i}a^ib^{nm-i}$$

看到这个式子，容易联想到二项式定理。但是这个式子不好转化，需要转化为对于每一个 $i$ 都有一个计算式。我们考虑用整体减去部分，可是还是不行。顺着这个思路，可以想到利用 $-1$ 的幂构造摆动数列，当 $i$ 为奇数时，$(-1)^i$ 刚好为负数，表示减去奇数项；当 $i$ 为偶数时，$(-1)^i$ 为正数，尽管有重复计算，可是恰好答案中的每种情况算了两遍，最后除以 $2$ 即可。

$$\frac{(r-l+1)^{nm}-\sum_{i=0}^{nm}(-1)^iC_{nm}^{i}a^ib^{nm-i}}{2}$$

直接利用二项式定理进行转化，达到复杂度 $O(\log(nm))$。

$$\frac{(r-l+1)^{nm}-(b-a)^{nm}}{2}$$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,l,r,mod=998244353;
long long power(long long a,long long p)
{
	long long x=a,ans=1;
	while(p)
	   {
	   	if(p%2==1)ans=ans*x%mod;
	   	p/=2;
	   	x=x*x%mod;
	   }
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&l,&r);
	if(n*m%2==1)printf("%lld",power(r-l+1,n*m));
	else 
	    {
	    	long long a=(r-l+1)/2,b=0;
	    	if((r-l+1)%2==1&&l%2==1)a++;
	    	b=r-l+1-a;
	    	printf("%lld",(power(r-l+1,n*m)+power((b-a+mod)%mod,n*m))%mod*499122177%mod);
		}
	return 0;
}