Luogu P8754 [蓝桥杯 2021 省 AB2] 完全平方数 题解

P8754 [蓝桥杯 2021 省 AB2] 完全平方数

首先，要使 $nx$ 为完全平方数，需要知道完全平方数的一个性质：完全平方数的质因子的指数一定为偶数。

证明：

设 $\sqrt{nx}=b$ ，$b$ 是正整数，则根据唯一分解定理，可得：

$$b=p_{1}^{k_{1}}\times p_{2}^{k_{2}}\times p_{3}^{k_{3}}\times ... \times p_{r}^{k_{r}}$$

其中 $p_{1},p_{2},p_{3}...p_{r}$ 为质数。

由完全平方数的定义，这个完全平方数 $nx$ 为 $b^2$ ，即：

$$nx=(p_{1}^{k_{1}}\times p_{2}^{k_{2}}\times p_{3}^{k_{3}}\times ... \times p_{r}^{k_{r}})^2$$

把括号拆开，得到

$$nx=p_{1}^{2k_{1}}\times p_{2}^{2k_{2}}\times p_{3}^{2k_{3}}\times ... \times p_{r}^{2k_{r}}$$

可以看到，每个质因子的指数均为 $2k_{m}$ ，必然是偶数。

所以，可以得到这样一个思路：

对 $n$ 进行质因数分解，若质因子指数为偶数，对结果无影响。若质因子指数为奇数，则在 $x$ 中乘以这个质因子，保证指数为偶数。

最后是完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ans=1;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(long long i=2;i*i<=n;i++)
        {
        	int cnt=0; //cnt计数，表示质因子pri[i]的指数
        	while(!(n%i))cnt++,n/=i;
        	if(cnt%2)ans*=i; //如果指数不是偶数，在x中要有一个这个质因子，保证指数为偶数
		}
	if(n!=1)ans*=n;//注意n没分尽的情况
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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