【6】拓扑排序学习笔记

前言

有向无环图和拓扑排序直接关联到中后期的图论建模思想，是很重要的基础知识。这个如果不彻底弄懂，以后图论会很困难。

有向无环图

正如其名，一个边有向，没有环的图，也叫DAG。

DAG图实际运用：描述含有公共子式的表达式及工程或系统的进行过程时的有效工具。

一个较大的工程被分成若干个子工程，这些子工程被称作活动。活动之间存在某种约束关系，用有向边来表示。

关心的问题：

$1$ ：工程能否顺利进行

$2$ ：估算整个工程完成所需要的最短时间

拓扑排序

用于在一个DAG表示的工程的的前后驱约束关系中，对完成活动的先后进行排序，使工程顺利进行。

拓扑排序的步骤：

$1$ ：选择图中所有入度为 $0$ 的点，加入栈/队列。

$2$ ：取出栈顶/队首的点加入拓扑序列末尾，删除这个点以及其出边（出边所到点的入度减 $1$ ），弹栈/队列。

$3$ ：在出边到达的点中选择入度为 $0$ 的点，加入栈/队列。

$4$ ：重复 $2\sim3$ ，直到栈/队列空。

如果拓扑排序结束后拓扑序列有 $n$（$n$ 为图的顶点数）个元素，那么图中无环；否则，图中必定存在环。

时间复杂度：$O(n+m)$

void topo_sort()
{
    int sta[300000],top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(ind[i]==0)sta[++top]=i;
    while(top)
        {
            int now=sta[top];
            top--;
            for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
                {
                ind[e[i].v]--;
                if(ind[e[i].v]==0)sta[++top]=e[i].v;
                }
            ou[++ans]=now;
        }
}

拓扑排序例题

例题 $1$ ：

B3644 家谱树

拓扑排序板子题，不多赘述。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge
{
    int v,next;
}e[300000];
int n,m,h[300000],cnt=0,ans=0,ind[300000],ou[300000];
void add_edge(int u,int v)
{
	e[++cnt].v=v;
	e[cnt].next=h[u];
	h[u]=cnt;
	ind[v]++;
}

void topo_sort()
{
	int sta[300000],top=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    if(ind[i]==0)sta[++top]=i;
	while(top)
	    {
	    	int now=sta[top];
	    	top--;
	    	for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
	    	    {
	    	    ind[e[i].v]--;
	    	    if(ind[e[i].v]==0)sta[++top]=e[i].v;
	    	    }
	    	ou[++ans]=now;
		}
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        {
        	int t=-1;
        	while(t!=0)
        	    {
        	    scanf("%d",&t);
        	    if(t==0)break;
        	    add_edge(i,t);
        	    }
		}
	topo_sort();
	if(ans!=n)printf("-1");
	else 
	   for(int i=1;i<=ans;i++)
	       printf("%d ",ou[i]);
	return 0;
}

例题 $2$ ：

U141986 奖金

前置知识：【6*】差分约束系统学习笔记

以每个人的奖金数为点构造差分约束系统，由于题目要求至少，需要求最长路，由于边权只有 $1$ ，可以通过拓扑排序直接求解最长路。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge
{
    int v,next;
}e[300000];
int n,m,h[300000],cnt=0,ans=0,ind[300000],ou[300000],dis[300000],sum=0;
void add_edge(int u,int v)
{
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].next=h[u];
    h[u]=cnt;
    ind[v]++;
}
 
void topo_sort()
{
    int sta[300000],top=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        if(ind[i]==0)sta[++top]=i;
    while(top)
        {
            int now=sta[top];
            top--;
            for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
                {
                ind[e[i].v]--;dis[e[i].v]=max(dis[e[i].v],dis[now]+1);
                if(ind[e[i].v]==0)sta[++top]=e[i].v;
                }
            ou[++ans]=now;
        }
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add_edge(y,x);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dis[i]=-1;
    dis[0]=99;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        add_edge(0,i);
    topo_sort();
    if(ans!=n+1)printf("Poor Xed");
    else
       {
       for(int i=1;i<=ans;i++)
           sum+=dis[i];
       printf("%d",sum);
       }
    return 0;
}

例题 $3$ ：

P1983 [NOIP2013 普及组] 车站分级

图论建模题目，第一眼看上去像DP。

由于在一段内，车所经过的车站必然比没有经过的车站优先级高，利用这一点可以以每个车站的优先级为点构造差分约束系统，由于题目要求最少，需要求最长路，同时边权依旧只有 $1$ ，可以直接使用拓扑排序。

至于建边，可以把有效行程之内未经过的车站到每一个经过了的车站建一条边，表示一个大于关系。同时这样可能会有很多重边，可以通过记忆化，排除冗余。

当然，此题有复杂度更优秀的做法，可以参考其他题解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
    int v,next,dis;
}e[1000010];
int n,m,s,h[1010],cnt=0,z[1010],book[1010],dis[1010],ind[1010],vis[1010][1010],ans=0;
void add_edge(int f,int v,int dis)
{
    e[++cnt].next=h[f];
    e[cnt].v=v;
    e[cnt].dis=dis;
    h[f]=cnt;
    ind[v]++;
}
 
void topo_sort()
{
    int sta[300000],top=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        if(ind[i]==0)sta[++top]=i;
    while(top)
        {
            int now=sta[top];
            top--;
            for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
                {
                ind[e[i].v]--;dis[e[i].v]=max(dis[e[i].v],dis[now]+e[i].dis);
                if(ind[e[i].v]==0)sta[++top]=e[i].v;
                }
        }
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d",&s);
            for(int j=0;j<s;j++)scanf("%d",&z[j]);
            for(int j=0;j<s;j++)book[z[j]]=1;
            for(int k=0;k<s;k++)
                for(int j=z[0];j<=z[s-1];j++)
                    if(!book[j]&&!vis[j][z[k]])
                       {
					   add_edge(j,z[k],1);
					   vis[j][z[k]]=1;
				       }
            memset(book,0,sizeof(book));
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        add_edge(0,i,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dis[i]=-99999999;
    dis[0]=0;
    topo_sort();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,dis[i]);
    printf("%d",ans+1);
    return 0;
}

后记

一篇教练推荐的博客，写在这里，提供参考：

拓扑排序（Topological Sorting）