YbtOJ20001 立方数差

小w又来氵题解啦~~

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题目

题目描述

给出一个质数 ，要求你判断这个质数是否是两个立方数的差，即判断是否存在正整数\(a,b\)满足\(a^3-b^3=p\)。

输入格式

从文件cubicp.in中读入数据。

多组数据。

第一行给出一个\(T\) ，表示有\(T\)组数据。

接下来\(T\)行，每行一个质数\(p\)。

输出格式

输出到文件cubicp.out中。

输出\(T\)行，对于每个数如果是立方差数，输出YES，否则输出NO。

样例？不想放了

数据范围

对于\(30\%\)的数据,\(2≤p≤100\);

对于\(60\%\)的数据,\(2≤p≤10^6\)

对于\(100\%\)的数据\(2≤p≤10^{12}\),\(1≤T≤100\),并且保证每个\(p\)均为质数。

思路

看了这道题……很明显，这是一道数学题（你这不是废话吗）。

首先，这里有一个立方差。

由立方差公式：\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)\)

可得：\(p=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)\) （字母都一样啊喂！）

∵ \(p\) 为质数

∴ \((a-b)=1\)

这里小w解释一下：因为题目中已经说\(p\)是质数了，所以\((a-b)\)和\((a^2+ab+b^2)\)肯定有一个为\(1\)（要是有其他的就不是质数了对吧）

而要是\((a^2+ab+b^2)=1\)的话，我们就会明显地发现：\(a^3-b^3=a-b\)

明显不成立

所以这里只能让\((a-b)=1\)了

接着继续：

∴ \(b=a-1\)

这个也不用多说了吧？简易方程五年级下学期谢谢。

然后我们就只需要枚举一个\(a\)到\(\frac{p}{2}\)。因为\(p\)最大为\(10^{12}\)，所以这里也就是\(10^6\)。

这样的话，单次时间复杂度为\(O(\frac{p}{2})\)，总共为\(O(\frac{pt}{2})\)

贴下代码：

Code1：

#include <cstdio>
using namespace std;

long long p;
long long t;
bool flag;

inline long long read() {
    long long x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

int main() {
    freopen("cubicp.in", "r", stdin);
    freopen("cubicp.out", "w", stdout);
    t = read();
    for (int i = 1; i <= t; i++) {
        flag = false;
        p = read();
        for (long long i = 1; i <= 1000000; i++) {
            if (p == (i - 1) * (i - 1) + i * i + i * (i - 1)) {
                printf("YES\n");
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if (flag == true)
            continue;
        printf("NO\n");
    }
    return 0;
}

但是！这还远远没有完。虽然刚刚我们的时间复杂度已经可以通过这道题了，但我们可以把单次时间压缩为\(O(1)\)！

这个想法来自于lmt（%%%），他写出了比标程还快的程序！

刚刚我们已经推到了\(p=(a^2+ab+b^2)\)，并且\(b=a-1\)

那么\(p=(a^2-2ab+b^2+3ab)\)

由完全平方公式\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

可得：\(p=(a-b)^2+3ab\)

∵ \((a-b)=1\)

∴ \(p=1+3ab\)

∵ \(b=a-1\)

∴ \(p=1+3a(a-1)\)

这样的话，如果\((p-1)%3≠0\)，也就是说\(p-1\)并不是\(3\)的倍数，这就意味着这个肯定不成立，可以直接输出NO

若成立，那么\(p=3a(a-1)\)

那么\(\lfloor \sqrt{p} \rfloor=a-1\)

那么有人就一脸懵逼了：

？？？？？

这是什么鬼操作？？？

首先，我们已知\(p=a(a-1)\)

那么\((a-1)＜\sqrt{p}＜a\)

此时\(\lfloor \sqrt{p} \rfloor=a-1\)

还可以得出\(\lfloor \sqrt{p} \rfloor +1=a\)

这样，我们就无须枚举\(a\)，成功把时间降到线性。单次时间复杂度\(O(1)\)，总共为\(O(t)\)

Code2

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int n;
long long p;
int main() {
    freopen("cubicp.in", "r", stdin);
    freopen("cubicp.out", "w", stdout);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> p;
        p -= 1;
        if (p % 3 != 0) {
            cout << "NO" << endl;
            continue;
        } else {
            p /= 3;
            long long f = sqrt(p);
            if (f * (f + 1) == p) {
                cout << "YES" << endl;
            } else {
                cout << "NO" << endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

至此，这篇题解就氵完了