蓝桥杯 试题 历届试题 小朋友排队 树状数组

问题描述

　　n 个小朋友站成一排。现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。

　　每个小朋友都有一个不高兴的程度。开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是0。

　　如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加1，如果第二次要求他交换，则他的不高兴程度增加2（即不高兴程度为3），依次类推。当要求某个小朋友第k次交换时，他的不高兴程度增加k。

　　请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。

　　如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。

输入格式

　　输入的第一行包含一个整数n，表示小朋友的个数。
　　第二行包含 n 个整数 H1 H2 … Hn，分别表示每个小朋友的身高。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。

样例输入

3
3 2 1

样例输出

9

样例说明

　　首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。

数据规模和约定

　　对于10%的数据， 1<=n<=10；
　　对于30%的数据， 1<=n<=1000；
　　对于50%的数据， 1<=n<=10000；
　　对于100%的数据，1<=n<=100000，0<=Hi<=1000000。

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解题思路:

　　若两个孩子身高为逆序对( i<j, Hi>Hj( Hi:i位置孩子身高 ) )，则需要交换位置，双方的不高兴程度均+1。若直接用冒泡排序，时间复杂度为O( n^2 )。

　　可以选取BIT(Binary Index Tree 树状数组)数据结构解决。

　　　　对于每个位置的孩子，其交换次数取决于左边身高比他高的与右边身高比他低的，两次运用BIT解决。

　　　　BIT求逆序对:构建一个值范围是 1-Max_H的BIT，按 j = 0,1,...,n顺序进行如下操作(其左边比他高的)

• • 把 j - (BIT查询得到的前Hi项和)加入对应位置的不开心程度
  • 把BIT中Hi位置上值+1 (注意此题身高可能为0,所以所有身高都+1处理 否则会陷入死循环)

　　　　对于每个j，(BIT查询到前Hi项和)的个数是 i<j， Hi<=Hj的个数，把这个值用 j 减去之后，得到的就是 i<j ，Hi>Hj的个数。

　　对于BIT求和和更新操作只需要O( logn )，循环n次最终解题的时间复杂度为O( nlogn )。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long int ll;

const int Max_N = 100000;
const ll Max_H = 1000000;

//输入
int n;
int H[Max_N]; //身高 

int count[Max_N]; //不高兴程度 
int bit[Max_H+1]; //BIT 1-Max_H

int sum( int i );  //计算 1-i的和 
void add( int i, int x ); //更新 ai += x 
void solve(); 

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for( int i=0; i<n; i++ ){
        scanf("%d",&H[i]);
        H[i]++; //防止为0 
    }
    
    solve();
    
    return 0;
}

int sum( int i )
{
    int s = 0;
    while( i>0 )
    {
        s += bit[i];
        i -= i&-i;    
    }    
    return s;
} 

void add( int i, int x )
{
    while( i<=Max_H )
    {
        bit[i] += x;
        i += i&-i;
    }
}

void solve()
{
    //左边比其身高高的 
    for( int j=0; j<n; j++ )
    {
        count[j] += j - sum( H[j] );
        add( H[j], 1 ); 
    }
    
    //右边比其升高低的 
    memset(bit,0,sizeof(bit));
    for( int j=n-1; j>=0; j-- )
    {
        count[j] += sum( H[j]-1 );
        add( H[j], 1 );
    }
    
    ll s = 0;
    for( int i=0; i<n; i++ )
    {
        s += ( (ll)(count[i]+1)*count[i] / 2 );
    }
    printf("%lld\n",s);
}

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/*　冒泡排序的时间复杂度为O( n^2 )，同时归并等基于比较的排序时间复杂度只需要O( nlogn )，同样在比较的同时记录比较次数即可。 */