动态规划 ---- 背包问题

一、01背包问题

有n个重量和价值分别为wi，vi 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和最大的一个。

1:朴素算法

对于每个物品，有可选与不可选两种可能，这取决于背包是否还能装入。若可取，则判断取之前与之后两种选择哪种最终价值总和更大。搜索所有可能。

//输入 
int n,W;
int w[Max_N],v[Max_N];

// i:物品下标 val:当前背包剩余容量 返回最大总价值 
int rec( int i, int val )
{
    if( i>=n  ) 
    {//没有剩余物品 
        return 0;
    }
    
    int res = 0;
    if( w[i]>val )
    {//物品无法装入背包 
        res = rec( i+1, val ); //继续选择下一个 
    }
    else
    {//物品可以装入,选择两种情况下总价值最大的 
        res = max( rec(i+1,val), rec(i+1,val-w[i])+v[i] );
    }
    return res;
}

void solve()
{
  printf("%d\n",rec(0,W));
}

这种方法搜索深度为n,每次都有两个分支，最终时间复杂度为O(2^n)

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2.记忆化搜索

观察递归搜索树可以发现有重复搜索的地方，加入dp[][]数组保存中间结果(剪枝)。

int dp[Max_N+1][Max_W+1]; //记忆化数组 

// i:物品下标 val:当前背包剩余容量 返回最大总价值 
int rec( int i, int val )
{
    if( dp[i][val]>=0 )
    {//避免重复计算(剪枝) 
        return dp[i][val];
    }

    if( i>=n  ) 
    {//没有剩余物品 
        return dp[i][val] = 0;
    }
    
    int res = 0;
    if( w[i]>val )
    {//物品无法装入背包 
        res = rec( i+1, val ); //继续选择下一个 
    }
    else
    {//物品可以装入,选择两种情况下总价值最大的 
        res = max( rec(i+1,val), rec(i+1,val-w[i])+v[i] );
    }
    return dp[i][val] = res;
}

void solve()
{
    //用负数表示尚未计算过 
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    printf("%d\n",rec(0,W));
}

对于相同参数只会被调用一次，参数的组合只有 nW 种，且每次函数只有两次调用递归，所以时间复杂度下降为O(nW)。这种方法称为记忆化搜索。

3.动态规划

结合搜索函数和相对应的记忆化数组:

rec(i,j) = rec( i+1, j )  　　　　　　　　　          j<w[ i ]　　  　　dp[ i ][ j ]  = dp[ i+1][ j ]  　　　　　　　　　　　　　　　  j<w[ i ] 

              max( rec(i+1,j), rec(i+1, j-w[ i ] ) + v[i] ) otherwise                  　　 = max( dp[ i+1 ][ j ]  , dp[ i+1 ][ j - w[ i ] ] + v[ i ]  )  otherwise

可以不用写函数，从初始dp[ n ][ j ] = 0 状态利用上递推式将各项值计算出来，用二重循环即可解决。

这里及以下所有dp数组均为全局变量，当初始值为0时没有进行初始化。

int dp[Max_N+1][Max_W+1]; //DP数组 

void solve()
{
    for( int i=n-1; i>=0; i-- )
    {
        for( int j=0; j<=W; j++ )
        {
            if( j<w[i] )
            {
                dp[i][j] = dp[i+1][j];
            }
            else
            {
                dp[i][j] = max( dp[i+1][j], dp[i+1][j-w[i]]+v[i] );
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[0][W]); //<-->rec(0,W)
}

这时的dp[ i ][ j ] 可以理解为从第i件物品开始选背包容量为j的最大总价值。

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若将dp[ i ][ j ] 理解为从第0见开始选到第i件且背包容量为j的最大价值，有第二种递推式。

int dp[Max_N+1][Max_W+1]; //DP数组 

void solve()
{
    //dp[0][j] = 0
    for( int i=0; i<n; i++ )
    {
        for( int j=0; j<=W; j++ )
        {
            if( j<w[i] )
            {
                dp[i+1][j] = dp[i][j];
            }
            else
            {
                dp[i+1][j] = max( dp[i][j], dp[i][j-w[i]]+v[i] );
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][W]);
}

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利用一维数组:若我们需要的仅仅是最终结果，观察到dp[ i+1 ][ j ]仅与其上一个物品时dp[ i ][ j ]有关，所以可以重复利用一维数组完成递推式。

int dp[Max_W+1]; //一维DP数组 

void solve()
{
    for( int i=0; i<n; i++ )
    {
        for( int j=W; j>=w[i]; j-- )
        {
            dp[j] = max( dp[j], dp[j-w[i]]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[W]);
}

这时原来的dp[i]的i可以认为是上一次循环时产生的dp值，即这一维在i循环种被隐去了。 (我也还没十分了解)

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二、完全背包问题