《算法导论》习题答案----第二章
练习
2.1-2
将第5行判断A[ i ] > key --> A[ i ] < key
2.1-3
Algorithm 1 Linear-Search( A, v )
输入 :数组A = < a1, a2, ..., an > 和值 v
输出:使得A[ i ] == v 的下标, 若v不在A内输出 nil
for i = 1 to n
if A[ i ] == v
return i
return nil
循环不变式: A[1, 2, ..., i-1 ]中没有值等于v 。
2.1-4
形式化描述(?) 模拟手算，二进制从低位到高位依次保存(大端(Big-endian)，便于进位)。
Algorithm 2 Binary-Addition(a, b, n)
输入:两个整数 a, b 与它们的二进制位数n
输出:a+b的二进制
let A[ 1...n ], B[ 1...n ] and C[ 1...n+1 ] to be new arrays
for i = 1 to n
A[ i ] = a&1
B[ i ] = b&1
a>>=1
b>>=1
for i = 1 to n
C[ i+1 ] = (C[ i ] + A[ i ] + B[ i ] ) / 2 //进位
C[ i ] = ( A[ i ] + B[ i ] ) %2 //当前位
2.2-1
n^3/1000 - 100n^2 - 100n + 3 = O( n^3 ) (暂时用O表示书中的theta 忽略系数，只取最高项)
2.2-2
假设函数Find-Min(A, r, s) 返回数组A下标从r到s的元素最小值的下标, 函数运行时间为O( s- r ) ( r<=s )
Algorithm 3 Selection-Sort( A )
输入:数组A
输出:顺序排列的A
for i in 1 to n-1
j = Find-Min( A, i, n )
A[ i ] <---> A[ j ] //交换元素A[i]与A[j]
循环不变式: A[ 1, 2, ..., i-1 ] 已经排列完毕并且A数组其余元素都大于等于循环不变式中的元素
因为最后剩下的元素A[ n ] 一定是最大的，所以只需要排列n-1次
时间复杂度: for循环n-1次，Find-Min时间复杂度O( n ) 所以总体时间复杂度为 O(∑i(1<=i<=n)) = O( n^2 ) 这个复杂度同时符合(holds)最好情况和最坏情况
2.2-3
因为每个元素都有可能是要查找的元素，所以查找元素有1/2可能在数组前一半，同时有一半可能在数组后一半，平均下来需要查找一半的元素。
最坏情况即要查找的元素在最后一个，即要查找n次。 最好和最坏情况时间复杂度都为O( n )
2.2-4
其中一个方法是针对最好情况修改算法，使其有效的处理最好情况。
2.3-4
递归版本的插入排序:
Algorithm 4 Insertion-Sort( A , n )
输入:数组A
输出:顺序排列的A
if n>1
Insertion-Sort( n-1 )
key = A[ n ]
i = n-1
while i>0 && A[ i ] > key
A[ i+1 ] = A[ i ]
i = i-1
A[ i+1 ] = key
T( n ) = T( n-1 ) + O( n ) = O(∑i(1<=i<=n)) = O( n^2 )
2.3-5
递归版二分搜索:
Binary-Search( A, l, r, v)
输入 :数组A = < a1, a2, ..., an > 和值 v
输出:使得A[ i ] == v 的下标, 若v不在A内输出 nil
if l<r
m = ( l + r ) / 2
if A[m] ==v
return m
if A[m] < v
Binary-Search(A, m+1, r, v)
else
Binary-Search(A, l, m-1, v)
return nil
因为长度n最多二分lgn次，所以二分查找最坏情况为O(lgn)
2.3-6
如果用二分搜索，其目标应该是返回第一个大于v的下标。二分的变形总结https://blog.csdn.net/qq_38742161/article/details/88838496 时间复杂度为O(lgn)
但找到下标后还需要让所有之后的元素后移一个位置，时间复杂度为O(n)，所以最坏运行时间为O(∑i(1<=i<=n-1)) = O( n^2 )
2.3-7
思路1:先用时间复杂度<=O( nlgn )的排序算法排序数组S（如归并排序），如果有a+b==x 则 a = x-b , 可以在S中用二分查找是否有值为x-S[ i ] (1<=i<=S.length ) T(n)=O(nlgn)+O(nlgn) = O(nlgn)
思路2:先排序,从两端到中间查找是否有S[ i ] + S[ j ] == x (1<=i<j<=S.length ) T(n) = O(nlgn) + O(n) = O(nlgn)
Algorithm 5 Check-Sum( S, x )
输入:数组S及数值x
输出:若S中有两个元素和为x，返回true , 否则false
Merge-Sort( S )
n = S.length
for i = 1 to n
if Binary-Search( S, 1, n, x-A[ i ]) //参见2.3-2
return true
return false
Merge-Sort( S )
n = S.length
i = 1
j = n
while( i<j )
if S[ i ] + S[ j ] == x
return true
elseif S[ i ] + S[ j ] > x
j = j - 1
else
i = i + 1
return false
思考题
2.1
