蓝桥杯 试题 历届试题 最大子阵 前缀和
问题描述
给定一个n*m的矩阵A,求A中的一个非空子矩阵,使这个子矩阵中的元素和最大。
其中,A的子矩阵指在A中行和列均连续的一块。
其中,A的子矩阵指在A中行和列均连续的一块。
输入格式
输入的第一行包含两个整数n, m,分别表示矩阵A的行数和列数。
接下来n行,每行m个整数,表示矩阵A。
接下来n行,每行m个整数,表示矩阵A。
输出格式
输出一行,包含一个整数,表示A中最大的子矩阵中的元素和。
样例输入
3 3
-1 -4 3
3 4 -1
-5 -2 8
-1 -4 3
3 4 -1
-5 -2 8
样例输出
10
样例说明
取最后一列,和为10。
数据规模和约定
对于50%的数据,1<=n, m<=50;
对于100%的数据,1<=n, m<=500,A中每个元素的绝对值不超过5000。
对于100%的数据,1<=n, m<=500,A中每个元素的绝对值不超过5000。
解题思路:前缀和是一种预处理,可以降低求区间和的时间。
一维前缀和 : sum[ i ] : a[ 1 ] + a[ 2 ] + ... + a[ i ] //数组a [ ] 下标从1开始。区间 [ L, R ]的和 = sum[ R ] - sum[ L-1 ]
二维前缀和 sum[ i ][ j ] : 下标( i', j' )<=( i, j ) 的子矩阵和
•二维前缀和的计算:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1999808/202005/1999808-20200520204042578-437791825.jpg)
由图可以知道大矩形的和 = 两个相邻矩形和 - 重合部分 + 阴影部分矩形,用代码表示即
for(int i=1; i<=n; i++) { for(int j=1; j<=m; j++) { Sum[i][j] = Sum[i-1][j] + Sum[i][j-1] + A[i][j] - Sum[i-1][j-1]; } }
时间复杂度O(n^4)的解法:
有了二维前缀和,就可以遍历所以矩形的左上端点和右下端点,找到最大的矩形和。
int res = -INF;
for(int x1=0; x1<n; x1++) { for(int y1=0; y1<m; y1++) { for(int x2=x1+1; x2<=n; x2++) { for(int y2=y1+1; y2<=m; y2++) { int t = Sum[x2][y2] - Sum[x1][y2] - Sum[x2][y1] + Sum[x1][y1];//矩形和 画张图就可以理解了 res = res>t ? res : t; } } } }
但用这个方法提交后之后60分。
时间复杂度下降为O( n^3 )的解法。
为了更好理解二维最大和矩阵解法,首先看一维怎么计算。即求一维连续序列最大区间和。
贪心:遍历 sum [ R ] ,每一步都取最小的 sum[ L-1 ] , 求差值更新res的值。
int Min = 0 , res = -INF; for(int i=1; i<=n; i++ ){ Min = min( Min, sum[ L-1 ]); res = max( res, sum[ R ] - Min ); }
二维最大区间和:
先求每一列的一维区间和,再遍历行号(0 - n ) , 这时把 行号为 i - j 的视为一维区间,再用上面的方法求最大值。
//代码实现
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int Max_N = 500; const int Max_M = 500; const int INF = 100000; //输入 int n,m; int A[Max_N+1][Max_M+1]; int f[Max_N+1][Max_M+1];//求一列的前缀和 int sum[Max_N+1]; //求一维最大区间和的方法 void solve() { for(int i=1; i<=n; i++) { for(int j=1; j<=m; j++){ f[i][j] = f[i-1][j] + A[i][j];//一列前缀和 } } int res = -INF; for(int i=0; i<n; i++) { for(int j=i+1; j<=n; j++)//遍历行号 { for(int k=1; k<=m; k++)//先求一维前缀和 { sum[k] = f[j][k] - f[i][k] + sum[k-1]; } int Min = 0; for(int k=1; k<=m; k++)//求一维最大区间和 { Min = min( Min,sum[k-1] ); res = max( res,sum[k]-Min ); } } } printf("%d\n",res); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1; i<=n; i++){ for(int j=1; j<=m; j++){ scanf("%d",&A[i][j]); } } solve(); return 0; }