浴谷夏令营2017.8.1数论的整理
知识点：
1.整数
1.1埃氏筛法：暴力枚举打表 O(nloglogn)
1.2线性筛法：对于每个数x，遇到x%prime[i]==0的第一个i退出，使得每个合数都被它的最小质因子筛掉 O(n)
例1.1H-合成数poj3292：暴力的一题 筛数打标记O(nlogn)
例1.2求最小质数：平均每O(logn)会出现一个质数，于是暴力即可 O(sqrt(n)logn)
1.3 辗转相除法
gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(b,a%b) 时间复杂度O(logn)
ab=gcd(a,b)*lcm(a,b)
二进制优化
1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 if(!a || !b) 4 return a^b; 5 int i=0,j=0; 6 while(!(a&1)) 7 a>>=1,i++; 8 while(!(b&1)) 9 b>>=1,j++; 10 while(a!=b) 11 { 12 if(a<b) 13 a^=b,b^=a,a^=b; 14 a-=b; 15 while(!(a&1)) 16 a>>=1; 17 } 18 return a<<min(i,j); 19 }
时间复杂度O(logn)不变，常数更小
1.4 拓展欧几里得
证明：
要解ax+by=c
设a’=b，b’=a%b，
解出a’x’+b’y’=c
即bx’+(a-[a/b]*b)y’=c
即ay’+b(x’-[a/b]y’)=c
所以x=y' y=x'-[a/b]y'
递归到b==0时，x=1 y=0
1 void exgcd(int a,int b,int c,int &x,int &y,int &p) 2 { 3 if(b==0) 4 if(c%a==0) 5 { 6 x=c/a; 7 y=0; 8 } 9 else 10 p=-1; 11 else 12 { 13 int xx,yy; 14 exgcd(b,a%b,c,xx,yy,p); 15 if(p==-1) 16 return; 17 x=yy; 18 y=xx-a/b*yy; 19 } 20 }
例1.3 gcd区间
题目来源：洛谷1890
dp+暴力
时间复杂度O(n^2logn+m)
例1.4 最大公约数和最小公倍数
题目来源：洛谷1029
质因数分解即可
2.同余
2.1 快速幂
2.2 线性求逆元
i^-1 ≡ -[p/i]*(p%i)^-1
2.3 费马小定理
若p是质数，则a^p-1 ≡1 (mod p)
2.4 欧拉定理
若(a,p)=1，则a^φ(p) ≡1 (mod p)
2.5 快速求逆元
extgcd或快速幂
例2.1 青蛙的约会
题目来源：poj1061
同余方程，记得取最小解
2.6 中国剩余定理
解方程x ≡ai (mod pi)，其中pi两两互质。
记qij表示pi在模pj意义下的逆元。
x ≡ Σ(ai*Σ(pj*qji)) (mod p1p2…pn)。
例2.2 Biorhythms
题目来源：poj1006
典型的中国剩余定理
3.积性函数
3.1 积性函数
如果对于任意正整数a,b，都有f(a)*f(b)=f(ab)，则称f为完全积性函数。
如果对于任意满足gcd(a,b)=1的正整数a,b，都有f(a)*f(b)=f(ab)，则称f为积性函数。
3.2 求欧拉函数
线性筛法即可
例3.1 Visible Lattice Points
题目来源：poj3090
模板题
4.一些水题
4.1 教堂
有一个n*m的点阵，每个点可以走到8个方向上的点。
水平或垂直方向上相邻的点之间的距离为1。
你需要从某个点出发，遍历所有的点并回到起点。
问最短路程。 n,m<=10000。
诡异的一题，分类讨论奇偶性
4.2 sumdiv
题目来源：poj1845
分解质因数+等比数列通项公式
4.3 奶牛分厩
题目来源：洛谷1154
很巧妙的做法
a%k==b%k等价于k|(a-b)
然后给所有的xi-xj打标记
之后用类似埃氏筛法的思想从大到小依次筛
从大到小枚举i，如果i的倍数中存在一个数是因数，那么i也是因数。
4.4 数列
题目来源：洛谷1062
二进制判断大小，k进制输出答案即可
4.5 Hankson的趣味题
筛到45000左右，依次判断每个质数即可
4.6 GCD SUM
考虑枚举k，求出gcd恰好为k的数对个数。
不难发现gcd是k的倍数的数对个数是[n/k]2。
把gcd是2k,3k,4k,….的个数扣掉就好啦。
4.7 数三角形
组合数+gcd
