Python深度学习02：神经网络的数学基础
2.1 初始神经网络
MNIST数据集：手写数字的灰度图像（28 像素×28 像素），包含 60 000 张训练图像和 10 000 张测试图像。
类：分类问题中的某个类别叫作类（class）
样本：数据点叫作样本（sample）
标签：某个样本对应的类叫作标签（label）
损失函数（loss function）：网络如何衡量在训练数据上的性能，即网络如何朝着正确的方向前进。
优化器（optimizer）：基于训练数据和损失函数来更新网络的机制。
在训练和测试过程中需要监控的指标（metric）：本例只关心精度，即正确分类的图像所占的比例
使用 Keras 库，加载数据集，代码如下：
1 from keras.datasets import mnist 2 from keras import models 3 from keras import layers 4 from keras.utils import to_categorical 5 6 # 加载 Keras 中的 MNIST 数据集 7 (train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data() 8 9 #标签 10 train_labels = to_categorical(train_labels) 11 test_labels = to_categorical(test_labels) 12 13 #准备图像数据 14 train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28)) 15 train_images = train_images.astype('float32') / 255 16 test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28)) 17 test_images = test_images.astype('float32') / 255 18 19 #构建网络模型 20 network = models.Sequential() 21 network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,))) 22 network.add(layers.Dense(10, activation='softmax')) 23 24 #编译的三个参数 25 network.compile(optimizer='rmsprop', 26 loss='categorical_crossentropy', 27 metrics=['accuracy']) 28 29 #拟合模型 30 network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128) 31 32 #查看测试集性能 33 test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)
2.2 神经网络的数据表示
张量：当前所有机器学习系统都使用张量作为基本数据结构，张量的维度（dimension）通常叫作轴（axis）。
标量（0D 张量）：仅包含一个数字的张量叫作标量（scalar）
1 import numpy as np 2 x = np.array(12) 3 x 4 5 array(12) 6 7 x.ndim 8 9 0
向量（1D 张量）：数字组成的数组叫作向量（vector）或一维张量（1D 张量）。一维张量只有一个轴。
1 x = np.array([12, 3, 6, 14, 7]) 2 x 3 4 array([12, 3, 6, 14, 7]) 5 6 x.ndim 7 8 1
注：这个向量有 5 个元素，所以被称为 5D 向量。5D 向量只有一个轴，沿着轴有 5 个维度。
5D 张量有 5 个轴（沿着每个轴可能有任意个维度）。
矩阵（2D 张量）：向量组成的数组叫作矩阵（matrix）或二维张量（2D 张量）。矩阵有 2 个轴（通常叫作行和列）。
1 x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0], 2 [6, 79, 3, 35, 1], 3 [7, 80, 4, 36, 2]]) 4 5 x.ndim 6 7 2
注：[5, 78, 2, 34, 0] 是 x 的第一行， [5, 6, 7] 是第一列。
3D 张量与更高维张量：可以将其直观地理解为数字组成的立方体。
1 x = np.array([[[5, 78, 2, 34, 0], 2 [6, 79, 3, 35, 1], 3 [7, 80, 4, 36, 2]], 4 [[5, 78, 2, 34, 0], 5 [6, 79, 3, 35, 1], 6 [7, 80, 4, 36, 2]], 7 [[5, 78, 2, 34, 0], 8 [6, 79, 3, 35, 1], 9 [7, 80, 4, 36, 2]]]) 10 11 x.ndim 12 3
张量的关键属性：
形状：整数元组，表示张量沿每个轴的维度大小（元素个数）。
前面矩阵示例的形状为 (3, 5) ，3D 张量示例的形状为 (3, 3, 5) 。向量的形状只包含一个元素，比如 (5,) ，而标量的形状为空，即 () 。
数据类型：（在 Python 库中通常叫作 dtype ），张量的类型可以是 float32 、 uint8 、 float64 等。
切片：可以沿着每个张量轴在任意两个索引之间进行选择。
1 #所有图像的右下角选出 14 像素×14 像素的区域 2 my_slice = train_images[:, 14:, 14:]
2.3 神经网络的‘齿轮’：张量运算
点积
两个向量的点积：对应维度的元素相乘，再相加，结果是一个标量。
注：只有元素个数相同的向量之间才能做点积。
1 import numpy as np 2 3 x = np.array([1,2,3]) 4 y = np.array([4,5,6]) 5 z = x.dot(y) 6 z 7 8 32
计算过程：1*4+2*5+3*6=32
矩阵与向量的点积，返回一个向量。
注：“矩阵点积向量”的结果与“向量点积矩阵”的结果不同。
矩阵点积向量
1 import numpy as np 2 3 A = np.array([[1,2],[3,4]]) 4 x = np.array([5,6]) 5 6 y1 = A.dot(x) 7 y1 8 9 [17 39]
计算：[1 * 5 + 2 * 6 , 3 * 5 + 4 * 6] = [17, 39]
向量点积矩阵
1 y2 = x.dot(A) 2 y2 3 4 [23 34]
计算：[5 * 1 + 6 * 3 , 5 * 2 + 6 * 4] = [23, 24]
两个矩阵的点积：矩阵乘法
2.4 神经网络的“引擎” ： 基于梯度的优化
训练（机器学习中的学习）：根据反馈信号逐渐调节这些权重，这个逐渐调节的过程叫作训练。
导数：斜率 a 被称为 f 在 p 点的导数（derivative）
更新方向：想减小f(x)的值，只需将x沿着导数的反方向移动一小步。
梯度（gradient）：是张量运算的导数，它是导数这一概念向多元函数导数的推广。
