(不务正业）信号与系统习题9.63 高通滤波器与低通滤波器的转换

在滤波器设计中，我们通常可以很方便地将一个高通滤波器转换为低通滤波器，或将一个低通滤波器转化为低通滤波器。

如果用$H(s)$代表原滤波器的转移函数，$G(s)$代表转换后的滤波器的转移函数，通常这种转换是通过用$\frac{1}{s}$代替$s$来实现的，即

$$H(s)=G(\frac{1}{s})$$

例如，考虑简单的一阶低通滤波器

$$H(s)=\frac{1}{s+\frac{1}{2}}$$

现用$\frac{1}{s}$代替$s$，可得

$$G(s)=H(\frac{1}{s})=\frac{2s}{s+2}$$

我们在同一坐标系下画出$|H(j\omega)|$(绿色)和$|G(j\omega)|$(蓝色),可见该变换实现了从低通滤波器到高通滤波器的转变。

下面分别求出$H(s)$和$G(s)$的微分方程：

根据

$$H(s)=\frac{1}{s+\frac{1}{2}}=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

交叉相乘并进行拉普拉斯反变换，得

$$2\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=2x(t)$$

同样地，根据

$$G(s)=\frac{2s}{s+2}=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

可得

$$\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=2\frac{dx(t)}{dt}$$

观察发现，$G(s)$的微分方程与$H(s)$相比，$y(t)$和$x(t)$的"零阶导数"和"一阶导数"的系数恰好颠倒了过来。

事实上，这个规律在更高阶高通/低通滤波器的转换中仍然成立。

下面考虑一般情况，假设$H(s)$是与下面一般形式的线性常系数微分方程相联系的转移函数。

$$\sum\limits_{k=0}^{N}a_k\frac{d^{k}y(t)}{dt^k}=\sum\limits_{k=0}^{N}b_k\frac{d^{k}x(t)}{dt^k}$$

对等式两边进行拉普拉斯变换，得到$H(s)$的表达式

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{N}b_ks^k}{\sum\limits_{k=0}^{N}a_ks^k}$$

用$\frac{1}{s}$代替$s$,得到

$$G(s)=H(\frac{1}{s})=\frac{\sum\limits_{k=0}^{N}b_ks^{-k}}{\sum\limits_{k=0}^{N}a_ks^{-k}}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{N}b_ks^{N-k}}{\sum\limits_{k=0}^{N}a_ks^{N-k}}=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

交叉相乘后进行拉普拉斯反变换，可以得到$G(s)$所对应的微分方程

$$\sum\limits_{k=0}^{N}a_k\frac{d^{N-k}y(t)}{dt^k}=\sum\limits_{k=0}^{N}b_k\frac{d^{N-k}x(t)}{dt^k}$$

与$H(s)$的微分方程对比，可见两边$k$阶导数的系数与$N-k$阶导数的系数相互调换，即，将$0,1,2,\cdots,N$阶导数的系数序列由

$$a_0,a_1,a_2\cdots,a_N;b_0,b_1,b_2\cdots,b_N$$

反转为

$$a_N,a_{N-1},a_{N-2}\cdots,a_{0};b_N,b_{N-1},b_{N-2}\cdots,b_{0};$$

即可实现高通滤波器和低通滤波器之间的转换。