acwing105七夕祭 (贪心)
七夕祭
题目大意
给一个n * m矩阵,有一些位置是1,其他是0。
每次操作可以交换相邻的两个数,特别的,每行/每列的第一个数和最后一个数视为相邻。
希望可以实现两个目标:1.每一行1一样多;2.每一列的1一样多
问最多可以实现几个目标,并求出对应的最少操作次数。
解题思路
如果1的总数是列的倍数,显然任务2可以实现,方法如下:
首先把图拍扁成一行。
按照均分纸牌的做法,可以把每个数减去平均数,如果小于0就从后面要,大于0就扔给后面。
这样答案为\(|a_1| + |a_1 + a_2| + |a_1 + ...+a_{n-1}|\)
题目中实际为环状结构,答案也可能是\(|a_2| + |a_2 + a_3| + |a_2 + ...+a_{n}|\)等
记前缀和为\(s_i\),则答案为$\min \limits_{1\le k\le n}\sum \limits_{i=1}^{n} |s_i-s_k| $
这个和式的最小值显然将\(s\)排序后在\(k=\frac{n+1}{2}\)时取到,因此答案为$\sum\limits_{i=1}^{n} |s_i-s_{\frac{n+1}{2}}| $
任务1也是同理的。我们还发现,完成其中一个任务的时候对另一个任务是没有影响的,可以分开算,这样这道题就解决了。
代码实现
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// Created by vv123 on 2022/6/24.
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, t, tot, a[N], b[N], s[N];
LL solve(int a[], int n) {
int avg = tot / n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] -= avg;
s[i] = s[i - 1] + a[i];
}
sort(s + 1, s + 1 + n);
int smid = s[n + 1 >> 1];
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
res += abs(s[i] - smid);
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m >> t;
while (t--) {
int p, q;
cin >> p >> q;
a[p]++; b[q]++; tot++;
}
if (tot % n == 0 && tot % m == 0) {
printf("both %lld\n", solve(a, n) + solve(b, m));
} else if (tot % n == 0) {
printf("row %lld\n", solve(a, n));
} else if (tot % m == 0) {
printf("column %lld\n", solve(b, m));
} else printf("impossible\n");
return 0;
}