P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪
题目描述
自从曹冲搞定了大象以后,曹操就开始捉摸让儿子干些事业,于是派他到中原养猪场养猪,可是曹冲满不高兴,于是在工作中马马虎虎,有一次曹操想知道母猪的数量,于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子,假如有16头母猪,如果建了3个猪圈,剩下1头猪就没有地方安家了。如果建造了5个猪圈,但是仍然有1头猪没有地方去,然后如果建造了7个猪圈,还有2头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总,你该怎么办?
输入格式
第一行包含一个整数n (n <= 10) – 建立猪圈的次数,解下来n行,每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示建立了ai个猪圈,有bi头猪没有去处。你可以假定ai,aj互质.
输出格式
输出包含一个正整数,即为曹冲至少养母猪的数目。
对于线性同余方程组x≡ai(mod mi)(i=1...n)
若mi 两两互质,则x在mod M下必有一解,M=m1m2m3...mn
构造解的过程:
令Mi=M/mi
显然(Mi,mi)=1,所以Mi关于模mi的逆元存在,设这个逆元为ti
于是有Miti≡1(mod mi),Miti≡0(mod mj)(j≠i)
进一步有aiMiti≡ai(mod mi),aiMiti≡0(mod mj)(j≠i)
因此解为x=a1M1t1 + a2M2t2 + ...+anMntn
exgcd求逆元:
Exgcd的作用是解ax+by=gcd(a,b),
令a=Mi ,b=mi ,因为它们互质,所以方程转化为Mix+mi y=1
显然解得的x满足Mix≡1(mod mi)。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 using namespace std; 4 ll n,a[1003],m[1003],M=1; 5 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ 6 if (!b) x = 1, y = 0; 7 else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x; 8 } 9 ll inv(ll a,ll b){ 10 ll x,y; 11 exgcd(a,b,x,y); 12 return x; 13 } 14 ll CRT(){ 15 ll M=1,ret=0; 16 for(int i=1;i<=n;++i)M*=m[i]; 17 for(int i=1;i<=n;++i){ 18 ll Mi=M/m[i],ti=inv(Mi,m[i]); 19 ret=((ret+a[i]*Mi*ti)%M+M)%M; 20 } 21 return ret; 22 } 23 int main(){ 24 cin>>n; 25 for(int i=1;i<=n;++i) 26 cin>>m[i]>>a[i]; 27 cout<<CRT(); 28 }
upd:代码已修正。