欧拉定理 (证明+在求逆元上的应用)

欧拉定理（又称费马-欧拉定理）：已知a和n为正整数，并且a和p互素，则a^phi(n) ≡ 1(mod n)。

证明：

　　设集合Z = {X₁, X₂, X₃, .... , X_phi(n)}，其中Xi (i = 1, 2, .. phi(n))表示第i个不大于n与n互质的数。

　　考虑集合S = {a*X1(mod n), a*X2(mod n), ... ,a*X_phi(n) (mod n) }，则集合Z = S;

　　1) 因为a和n互质，Xi和n也互质，所以a*Xi 也与n互质。所以对任意一个Xi，a*Xi (mod n)一定是Z里面的元素;

　　2)对于任意Xi, Xj, 如果Xi != Xj，则a*Xi(mod n) != a*Xj(mod n);

　　所以S = Z；

　　那么 (a*X1*a*X2*...*a*X_phi(n))(mod n) ---------------------------------------------------- (1)

　　= (a*X1(mod n)* a*X2(mod n)* ... *a*X_phi(n) (mod n)) (mod n)

　　= (X_1* X_2* X_3* .... * X_phi(n)) (mod n) ------------------------------------------------------ (2)

　　式(1)整理得 [a^phi(x)  *  (X_1* X_2* X_3* .... * X_phi(n))] (mod n)

　　与(2)式一同消去 (X_1* X_2* X_3* .... * X_phi(n))，即得 a^phi(x) ≡ 1 (mod n)；

逆元 ：(b/a) (mod n)  =  (b * x) (mod n)。 x表示a的逆元。并且 a*x ≡ 1 (mod n)  

因为a^phi(x) ≡ 1 (mod n)，所以x可以表示为a^(phi(n) - 1)。