(转)Nim游戏的一个扩展的证明(Moore’s Nimk and Mis`ere)

Moore’s Nimk

Nim游戏的简单扩展，不过证明我还是想了一些时间的。

n堆石子，每次从不超过k堆中取任意多个石子，最后不能取的人算失败。
把n堆石子的石子数用二进制表示，统计每一二进制位上的1的个数，若每一位上1的个数mod (k + 1)全为0，则必败。否则必胜
证明：
1.显然终止局面全为0满足命题，为必败态

2.对于某个局面，若存在某些二进制位上的1的个数mod (k + 1)不为0，则一定存在一个合法的移动，使得每一个二进制位上的1的个数mod(k + 1)等于0。设1的个数mod(k + 1)不为0的最高二进制位上有m个1，则把这些1都变成0，记此时改变的堆数为m，若遇到下一个1的个数mod(k + 1)不为0的二进制位上有r个1，设原来改变的m堆在这一二进制位上有a个1和b个0。若a >= r，则把其中r个1->0；若b >= k + 1 - r，则把其中k + 1 - r个0->1；否则，有a < r且b < k + 1 - r，选择原来改变的m堆以外的r - a堆,这r-a堆在该位上是1，此时改变的堆数为a + b + r - a = b + r < k + 1 - r + r = k + 1，故为合法的移动。重复上述操作，必然能使得每一位上的1的个数mod (k + 1)都为0。

3.对于某个局面，若每一个二进制位上的1的个数mod (k + 1)都为0，则一定不存在某个合法的移动，使得移动后每一二进制位上的1的个数mod (k + 1)都为0。因为最多对k堆石子做改变，所以不可能在某一位改变k + 1个1或0，使得mod(k + 1)仍为0，必然需要做偶数个0->1和偶数个1->0，对于1->0的这堆，必然存在高位，从1->0，要使高位的操作成立，又需要某一堆在这一位上0->1，依次类推，最后在最高位上存在一堆是0->1，这是不合法的。
证毕。

练习：http://acm.sdut.edu.cn/sdutoj/problem.php?action=showproblem&problemid=2161

Mis`ere Moore’s Nimk

其他的条件一样，只是谁拿走最后一个谁输。

我们的目标是：使得最后剩余的石子规模都是1，且堆数mod (m + 1) = 1
开始时按照Moore’s Nimk的策略操作，直到只剩下大于1且小于等于m堆规模大于1的石子时，可取得我们的目标状态。
正确性证明：按照Moore’s Nimk的策略，必胜方取后每一个二进制位mod (m + 1) = 0，所以不可能只剩下m堆规模大于1的石子，而对手也不可能把m + 1堆规模大于1的石子一下都拿走，所以最后一定会剩下小于等于m堆规模大于1的石子让必胜方拿。
先手必胜:
1.石子规模都为1，且堆数mod (m + 1) != 1
2.石子规模不全为1，且当堆数以2进制表示时，存在某一二进制位上1的和mod(m + 1) != 0