数学之向量的点积(点乘、数量积)

向量的点积（英语：dot product）（数量积的定义）：

 

几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。

 

 

在其物理上面的几何意义是容易理解的。如下图所示：

现在求F1在水平方向上的做功：

W = F1 * Cosθ * S

那么套用数量积公式：

力F1在水平方向位移S，可以表示为：

F1 * S = Cosθ * |F1| * |S|

上面的数量积公式的使用如下：

当θ夹角小于90度时，F1 * S > 0

当θ夹角大于90度时，F1 * S < 0

利用上面的特性，在游戏的开发中可以作为一个玩家的视野计算，对玩家身前可能存在的碰撞进行检测。

如上图所示，2号蓝线为玩家的面朝的方向，我们可以知道1和3红线对2线的夹角是小于90度的，这也就是玩家的面朝的方向

再看4号线，与2号线的夹角是大于90度的，故向量2与向量4的点积是小于0的，故我们可以判断4是玩家的视野盲区，也就是玩家的身后。

我们如果需要对玩家身前是否有障碍需要判断的话，可以通过向量来实现。

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我们首先设置的是RPG玩家的位置，假设是（10,10）

下面的向量描述都是以玩家为中心的描述。

我们设置他的视野范围是5,知道主角的朝向假设是向量(1,1)

现在有一个箱子的向量是（-3，4）;

利用点积公式：

1 * (-3) + 1 * 4 = 1

因为1大于0，推导出他们的夹角θ是大于0小于等于90度的

故该箱子一定是位于玩家的前方的。

再次假设，玩家的视野角度是60度。计算Cosθ的值

Cosθ = 2 / (sqrt(2) * 5) = 2 / (1.4 * 5) = 2 / 7 = 0.2857

计算反余弦：ArcCos 0.2857 =  73.399305 ° 

知道了箱子与玩家朝向的向量（1，1）的夹角是73度，故可以知道，该箱子不在玩家的视野中。

如果还不懂，可以对照下图的大致图解：