从我背后出现(最小生成树)

Description

给定n个点m条边的无向连通图，对于每条边求出强制选这条边后的最⼩⽣成树⼤⼩。

\(n\leq 10^5,m\leq 2*10^5\)

Input Format

第 1 行包含两个整数 n，m，表示点数和路径数。第 2~m+1 行每行三个整数 ui，vi，wi，表示有一条可以修的路连接 ui 和 vi ，费用为 wi ,wi ≤ 1e9。

Output Format

输出 m 行，每行一个整数，表示选择第i条路径的前提下的最小花费。

路径按输入的顺序编号为 1~m 。

Solution

原图构造最小生成树，对于一条边，如果他是最小生成树上的边，那么答案不变，

那如果不在上面，例如一条边u to v，

那么肯定是在原先树上u到v的路径上删去一条边，然后把这条边添加上去，可以发现删去的是最大的边

然后倍增预处理一下树上最大边即可

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 100010
#define ll long long
using namespace std;

struct info{
	int fr,to,w,nex,id;
	friend bool operator < (info a,info b){
		return a.w<b.w;
	}
}ke[N*2],e[N*4];
int n,m,_log,tot,head[N*4],dep[N],f[N][20];
ll mx[N][20],Ans,Que[N*2];
bool used[N*2];

inline int read() {
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch = getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch = getchar();}
	return x*f;
}

inline void Link(int u,int v,int w){
	e[++tot].to=v;
	e[tot].w=w;
	e[tot].nex=head[u];
	head[u]=tot;
}

void dfs(int u,int fa){
	for(int i=1;i<=_log;++i){
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
		mx[u][i]=max(mx[u][i-1],mx[f[u][i-1]][i-1]);
	}
	
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dep[v]=dep[u]+1;
		mx[v][0]=e[i].w;
		f[v][0]=u;
		dfs(v,u);
	}
}

int fa[N];
int Find(int u){
	return (fa[u]==u)?u:fa[u]=Find(fa[u]);
}

inline void kruskal(){
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	sort(ke+1,ke+m+1);
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int px=Find(ke[i].fr),py=Find(ke[i].to);
		if(px!=py){
			fa[px]=py;
			used[i]=1;
			Link(ke[i].fr,ke[i].to,ke[i].w);
			Link(ke[i].to,ke[i].fr,ke[i].w);
			cnt++;
			Ans+=ke[i].w;
		}
		if(cnt==n-1) break;
	}
}

inline ll LCA(int u,int v){
	ll r=0;
	if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
	int d=dep[v]-dep[u];
	for(int i=0;i<=_log;++i)if(d&(1<<i)) r=max(r,mx[v][i]),v=f[v][i];
	if(u==v) return r;
	for(int i=_log;i>=0;--i)
		if(f[u][i]!=f[v][i]) r=max(r,max(mx[u][i],mx[v][i])),u=f[u][i],v=f[v][i];
	return max(r,max(mx[v][0],mx[u][0]));
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	_log=log(n)/log(2);
	for(int i=1;i<=m;++i)ke[i].fr=read(),ke[i].to=read(),ke[i].w=read(),ke[i].id=i;
	kruskal();
	dfs(1,0);
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
		if(used[i]) Que[ke[i].id]=Ans;
		else Que[ke[i].id]=Ans-LCA(ke[i].fr,ke[i].to)+ke[i].w;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		printf("%lld\n",Que[i]);
	return 0;
}