51NOD贪心教程(任务执行顺序典型题+详细解析)
有N个任务需要执行,第i个任务计算时占R[i]个空间,而后会释放一部分,最后储存计算结果需要占据O[i]个空间(O[i] < R[i])。
例如:执行需要5个空间,最后储存需要2个空间。
给出N个任务执行和存储所需的空间,问执行所有任务最少需要多少空间。
分析: 本题可以抽象成,从一个整数开始,每次减去a,再加上b (a,b都是正数),要求每次操作都不产生负数。
针对本题a[i] = R[i], b[i] = R[i] – O[i],注意O[i] < R[i],我们有0<b[i]<a[i]。 所以尽管每次有减有加,但是加的没有减的多,总数还是在不断见效的。关键我们是要“最有利”的一种执行顺序。大家可以尝试多种贪心策略。
我们给出标准答案——按照b[i]不增的顺序排序,是最“有利”的。
为了定义“有利”,我们这样证明我们的结论:
如果对于b[0]>=b[1] >=…>=b[x] < b[x + 1]
(a[0],b[0])….(a[x], b[x]) (a[x + 1], b[x + 1])的组合可以不产生负数,则我们交换b[x]和b[x + 1]也可以不产生负数。
证明:
交换(a[x], b[x])和(a[x + 1], b[x + 1])对x + 1更有利了,因为每个括号实际上是一个负数,所以越早安排这个括号,被减数就越大,就越不容易形成负数。
关键看(a[x],b[x])移动到后面会不会产生负数。
那其实是看之前的结果 -a[x + 1] + b[x + 1] – a[x]会不会产生负数,(注意-a[x + 1] + b[x + 1]不会产生负数,因为我们刚才已经证明了,对x + 1更有利)
而我们知道之前的结果-a[x] + b[x] – a[x + 1]不会产生负数(因为我们的假设就是这样),而b[x + 1] > b[x],所以前者更大,所以-a[x + 1] + b[x + 1] – a[x]不会产生负数。
因此我们证明了交换之后仍然不产生负数,也就是原先不产生负数,我们交换后仍然不产生负数。
而经过若干次这样的交换之后,我们肯定会把序列交换成按照b的不增顺序排序的。从而我们证明了,任何可行的方案都不好于按照b不增顺序排序的序列执行的方案,从而证明了我们的贪心策略是有效的。
很奇怪的策略——我们只考虑了b,居然能得到最优策略。可见贪心算法还是需要感觉,大胆假设,小心求证。
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法。
输入
第1行:1个数N,表示任务的数量。(2 <= N <= 100000) 第2 - N + 1行:每行2个数R[i]和O[i],分别为执行所需的空间和存储所需的空间。(1 <= O[i] < R[i] <= 10000)
输出
输出执行所有任务所需要的最少空间。
输入示例
20 14 1 2 1 11 3 20 4 7 5 6 5 20 7 19 8 9 4 20 10 18 11 12 6 13 12 14 9 15 2 16 15 17 15 19 13 20 2 20 1
输出示例
135
代码:
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+10;
struct D{
int R,O,flag;
bool operator < (const struct D &b)const {
return flag > b.flag;
}
}board[MAXN];
int main(){
int N;
while(scanf("%d",&N) == 1){
for(int i=1 ; i<=N ; ++i){
scanf("%d %d",&board[i].R,&board[i].O);
board[i].flag = board[i].R - board[i].O;
}
sort(board+1,board+1+N);
int ma = 0,sum = 0,t = 0;
for(int i=1 ; i<=N ; ++i){
t = sum + board[i].R;
if(t > ma)ma = t;
sum += board[i].O;
}
printf("%d\n",ma);
}
return 0;
}