『学习笔记』Tarjan
概念
时间戳（dfn）
说白了就是用dfs遍历图中所有节点的顺序，很好理解，一般用数组 \(dfn[\ i\ ]\) 表示第几个访问的节点 \(i\) 。
追溯值（low）
看起来比较抽象，其实我也不太好给出合理的解释，大概意思就是 \(low[\ i \ ]\) 代表节点 \(i\) 通过直接或间接存在的路径，可以返回到的时间戳（dfn值）最小的节点 \(j\) ，其中 \(low[\ i \ ] = dfn[\ j \ ]\) 。然后就引入了一些有关搜索树中边的名称的概念，在下面的板块会提及。
搜索树
这个也很好理解，就是在一张连通图中（不管有向还是无向），所有的节点以及发生递归的边共同构成一张搜索树，显然搜索树中节点数比边数多1（这是树的性质）。
相应的，如果这张图不是连通图，那么相应构成的就是搜索森林。
在搜索树中，我们以有向边 \((x, y)\) 为例（先后顺序不代表前父后子）：
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若边 \((x, y)\) 是搜索树中的边，则称边 \((x, y)\) 为树枝边。
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若边 \((x, y)\) 不是搜索树中的边，且在搜索树中 \(y\) 是 \(x\) 的后代，则边 \((x, y)\) 是前向边（祖先指向后代）。
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若边 \((x, y)\) 不是搜索树中的边，且在搜索树中 \(x\) 是 \(y\) 的后代，则边 \((x, y)\) 是后向边（后代指向祖先）。
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整个图中除了以上三种边就是横叉边。
PS：显然，只有有向图中存在横叉边，证明略。
Tarjan与有向图
强连通
在有向图中，若存在一个子图，且该子图中的任意两点都相互连通，则该子图为强连通图。
根据定义，显然，一个环一定是强连通图；但是，一个强连通图不一定是一个环，有可能是多个环拼接在一起。
在有向图中最大的强连通图为强连通分量。
PS：有些书和博客把这里的最大强连通子图说成极大强连通子图，都是一个意思。
强连通分量判定法则（scc）
根据定义，亦可得，每一个节点只会属于一个强连通子图。
其实真正求的是哪一个节点属于哪一个强连通图，强连通分量的定义是最大的强连通子图，强连通分量一般来说是一个（有可能是多个相等的），但是好像也可以指强连通图。不知怎么搞的，既然都这么说，那就这么说罢。
我们按照dfn的顺序将每一个节点编号入栈，当 \(dfn_x=low_x\) 时，将栈顶到 \(x\) 之间所有的节点出栈，这些节点构成一个强连通分量。
\(dfn_x=low_x\) 即为强连通分量的判定条件。简要说明：节点 \(x\) 能返回到最早的节点就是 \(x\) 本身。从 \(x\) 到 \(s.top(\ )\) 这些节点的父节点可以看做 \(x\) ，且它们最多只能返回到节点 \(x\) ，所以这些节点构成一个强连通分量。
代码实现如下：
void tarjan(int x) {
dfn[x] = low[x] = ++cnt;
sta[++top] = x; ins[x] = true; // ins[x] 标记 x 是否入栈
for (int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]) {
int y = ver[i];
if (!dfn[y]) {
tarjan(y);
low[x] = min(low[x], low[y]);
} else if (ins[y]) {
low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
if (dfn[x] == low[x]) {
int y; ++num; // num 是连通块的编号
do {
y = sta[top--]; ins[y] = false;
c[y] = num; // c[y] 保存 y 属于哪个连通块
scc[num].push_back(y); // scc[num] 保存连通块 num 里有哪些点
} while (y != x);
}
}
scc缩点
强连通分量的缩点很简单。因为每个节点只可能属于一个 scc，所以我们可以把一个 scc 缩成一个点。设存在有向边 \((x,y)\) ，若 \(c_x = c_y\) ，则这条边会被吞掉；反之，这条边就会被建立。
代码实现如下：
// 以下代码加到主函数中：
for (int x = 1; x <= n; ++x) {
for (int i = head[x]; i != -1; i = nxt[i]) {
int y = ver[i];
if (c[x] == c[y]) continue;
add_c(c[x], c[y]);
}
}
Tarjan与无向图
桥（割边）
定义很好理解：在无向连通图中，若删去一条边，使得该连通图分裂成两个不连通的连通图，则这条边为桥（割边）。
桥（割边）判定法则
其中 \(y\) 是 \(x\) 的子节点。
简要说明：从 \(y\) 出发，没有任何一条路径能到达 \(x\) 及 \(x\) 以上的节点，显然这条边被删去以后分裂成两个子连通图，即这条边是桥（割边）。
代码实现如下：
void tarjan(int x, int fa_edge) { // 第二个参数传的是刚才发生递归的边的编号
dfn[x] = low[x] = ++cnt;
for (int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]) {
int y = ver[i];
if (!dfn[y]) {
tarjan(y, i);
low[x] = min(low[x], low[y]);
if (dfn[x] < low[y]) {
bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true;
// bridge[i] 保存 i 是否为桥（割边）
}
} else if (i != (fa_edge ^ 1)) { // 成对变换
low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
}
这里用到了一个叫 成对变换 的东西，若不懂则可以去借鉴其他文章。这里默认读者理解什么是成对变换。
边双连通分量（e-dcc）
图的双连通分量（dcc）包括边双连通分量（e-dcc）点双连通分量（v-dcc），这里先介绍 e-dcc。
在无向连通图中，不包含桥的子图 为边双连通图，最大 的边双连通子图为边双连通分量。
（定义与强连通分量类似。）
说白了就是把一张无向图中所有的桥删去，每一个连通块就是一个 e-dcc。
代码实现如下：
// 各数组名的含义与 scc 上面的类似
void edcc_dfs(int x) {
c[x] = num;
for (int i = head[x]; i != -1; i = nxt[i]) {
int y = ver[i];
if (bridge[i] || c[y]) continue;
edcc_dfs(y);
}
}
// 以下代码加到主函数中：
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (c[i]) continue;
++num;
edcc_dfs(i);
}
e-dcc缩点
和 scc 的缩点的思路类似。
代码如下：
// 以下代码加到主函数中：
for (int i = 2; i <= tot; ++i) {
// tot 是链式前向星中边的编号，为了保证正常的成对变换，tot 要从偶数编号开始计起
int x = ver[i], y = ver[i ^ 1];
if (c[x] == c[y]) continue;
add_c(c[x], c[y]);
}
割点（割顶）
割点（割顶）判定法则
其中 \(y\) 是 \(x\) 的子节点。
解释与桥的类似。简要说明：从 \(y\) 出发，无论走哪一条路径都只能到达 \(x\) 及 \(x\) 以下的节点，显然这个点被删去以后分裂成两个子连通图，即这条点是割点（割顶）。
值得注意的是，若 \(x\) 为搜索树的根节点，则 \(x\) 仍需要满足 至少有两个节点与其相连 才可能保证 \(x\) 为割点。所以我们要对根节点进行特判。
代码实现如下：
void tarjan(int x) {
dfn[x] = low[x] = ++cnt;
int flag(0); // 记录有多少个点与 x 连通
for (int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]) {
int y = ver[i];
if (!dfn[y]) {
tarjan(y);
low[x] = min(low[x], low[y]);
if (dfn[x] <= low[y]) {
++flag;
if (x != rt || flag > 1) cut[x] = true;
// 若 x 不为根则 x 一定是割点
// 若 x 为根，且和根相连的节点数 >= 2 亦为真
// 否则不是割点
}
} else {
low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
}
点双连通分量（v-dcc）
在无向连通图中，不包含桥的子图 为边双连通图，最大 的边双连通子图为边双连通分量。
（定义与边双连通分量类似。）
但和 e-dcc 不同的是，e-dcc 把桥删去即可求得每个边双联通分量。v-dcc 中，每一个割点可能属于多个点双连通分量。所以 v-dcc 缩点是把每个割点单拎出来，再把每个 v-dcc 单拎出来，如果这个 v-dcc 中包含割点，那么就将这个 v-dcc 和这个割点连边。
显然，如果一个点是孤立点（就是没有任何边点与其相连），那么它自己属于一个 v-dcc。所以也需要对孤立点进行特判。
代码实现如下：
void tarjan(int x) {
dfn[x] = low[x] = ++cnt;
sta[++top] = x;
int flag(0);
if (x == rt && head[x] == -1) { // 对孤立点的特判
vdcc[++num].push_back(x);
return;
}
for (int i = 0; i < ver[x].size(); ++i) {
int y = ver[x][i];
if (!dfn[y]) {
tarjan(y);
low[x] = min(low[x], low[y]);
if (dfn[x] <= low[y]) {
++flag;
if (x != rt || flag > 1) cut[x] = true;
int z; ++num;
do {
z = sta[top--];
vdcc[num].push_back(z);
} while (z != y);
vdcc[num].push_back(x); // x 可能属于多个 v-dcc
}
} else {
low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
}
v-dcc缩点
刚才在上面的板块说了一些。就是把每个 v-dcc 缩成一个点。因为割点可能属于多个 v-dcc，所以要把每一个割点单拎出来。具体思路要结合上面的看。
代码实现如下：
// 主函数里
cnt = num;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (cut[i]) new_cut[i] = ++cnt;
}
for (int x = 1; x <= num; ++x) {
for (int i = 0; i < vdcc[i].size(); ++i) {
int y = vdcc[x][i];
if (cut[y]) {
add_c(x, new_cut[y]);
add_c(new_cut[y], x);
} else c[y] = x;
}
}
