公理集合论（三）：基数理论
请读者具备离散数学的基础
20230203：简化部分描述
三、基数
可数序数
定义1：若序数\(α\)与自然数集\(ω\)在双射函数，则称\(α\)为可数序数，比如整数集Z、有理数集Q这些都是可数的，但都要通过特殊的技巧性的方法去找到这样一个双射函数由此说明是可数的。相关内容在很后面会说明
例如整数集可以构造函数\(f(n)=\begin{cases}0,n=0 \\-k,n=2k \\k+1,n=2k+1 \end{cases}\)（即第一项是0，奇数项是正整数，偶数项是负整数）但是这样的双射并不一定是唯一的，只要能和自然数集映射那么就是可数的
定理1：如果集合的元素数有限那么必然可以当作良序集合即必定是可数，但如果是无穷集合就不一定了，因此如果要去证明集合是否可数一般会去讨论无穷集合
定理2：序数\(ω^x,x∈ω\)是可数的
如证明\(ω^2\)是可数的，根据序数幂乘的公式其下的元素有\(ω,ω+1,ω×2,ω×3,ω×4+2...\)即\(ω×X+Y~|~X,Y∈ω\)的形式
这其实是二维的形式，取决于\(<X,Y>\)元组怎么变化，构造一个二元（并没有限定输入唯一）双射函数即可\(f(X,Y)=1/2((X+Y)^2+X+3Y)\)（从元组到自然数的双射）
当\(x=3\)时，即形式上变成了三维\(Xω^2+YN+Z~|~X,Y,Z∈ω\)，如果比较难寻找到映射，可以先将两个元素的元组映射（因为可数）为一个元素（即二维变成一维）后，三维的情况就可以化解成二维
同理当\(x=ω\)即无穷维时，也是用这样的方法——多维通过可数的二维化为一维，直到化解成二维。
无穷维时，其映射的数量也是无数个，但可以用归纳法去简化描述
令\(A_0=ω,A_K=\{α~|~ω^k≤α＜ω^{k+1}\}\)，因为\(∀k∈ω,T_k\)是可数的，且是不相交的\(T_{k_1}∩T_{k_2}=Ø\)因此可以将无穷维分解为可数个（可数不代表有限）不相交的可数集合，最后也可映射为一个二元的映射表
直观上得到了如下的映射表
\(\begin{matrix}0&2&5&9&14&... \\ 1&4&8&13&... \\ 3&7&12&... \\ 6&11&... \\ 10&... \\ \vdots \end{matrix}\)
公式对应于\(f(X,Y)=1/2((X+Y)^2+X+3Y)\)，X代表第几行，Y代表第几列（注：从0开始）
定理3：若\(α,β\)是可数序数，则\(α+β\)，\(α×β\)，\(α^β\)也是可数序数
证明：
加法的本质实际上是求解后继元素，因此可以构造\(f(x)=\begin{cases}g1(x),x∈[0,α) \\ g2(x),x∈[α,α+β) \end{cases},x∈α+β\)
这种形式实际上就是上面论证整数集为什么是可数的方法，即划分区域，比如划分了12个区域，则对应于有无穷元素的自然数可以划分出可能长短不一的12个区域进行对应。整数则划分了0、正整数、负整数，则分别对应于自然数的0、奇数、0以外的偶数（如果能想得更远的话，元素数相等的区域实际上就是求余得等价类）
乘法实质是加法的累加，既然加法成立，累加自然也成立，同理幂乘的累乘也成立
定义2：\(λ_0=ω,λ_{n+1}=ω^{λ_n}\)
定义3：\(λ=∪\{λ_i~|~i∈ω\}=ω+ω^2+ω^3+...\)
定理4：定义2定义3中的序数均为可数序数。就可数的性质而言，自然数集推广到了\(λ\)的可数序数，即任意可数的无穷序数，但某种意义上它是非常”小“的
势
对于任意序数\(α,β\)，若存在单射函数\(f:α→β\)，则记作\(|α|≤|β|\)（部分会记作\(\overset{=}{α}≤\overset{=}{β}\)或\(card(α)≤card(β)\)），若不存在双射函数\(g:α→β\)，则称为是不等势的记作\(|α|≠|β|\)（若存在双射则是等势的）
当然反过来还有其他符号诸如\(|α|≥|β|\)
\(|α|<|β|\)等价于\(|α|≤|β|∧|α|≠|β|\)（条件：存在单射但不存在双射）
\(|α|>|β|\)等价于\(|α|≥|β|∧|α|≠|β|\)（条件：存在单射但不存在双射）
\(|α|=|β|\)称为是等势的，等价于\(|α|≤|β|∧|α|≥|β|\)（条件：存在双射）
为什么说单射、双射就是模拟计数的过程。举个例子，\(|3|<|5|\)。其中\(3=\{0,1,2\},5=\{0,1,2,3,4\}\)。单射的过程如下，假设随便从3中拿元素2要去对应5的一个元素0，这实际上就消去了两者的一个元素，继续拿元素会发现3里拿了3个元素，5里拿了3个元素。因此单射模拟的是3和5两个集合不断地都拿出一个元素，能否在3拿光前5不拿光或恰好拿光，如果5拿光了而3还没拿光就是不存在单射即此时其实是有5到3的单射。双射则模拟的是能否在3拿光时5恰好拿光，如果有双射就代表了等势。
比较运算符实际是分成了两种。一个是基于属于、包含的关系\(α<β\)，一个则是基于单射、双射的关系\(|α|<|β|\)
序理论中的比较是基于范围的，而基数比较是基于数量的，两者并不相同，但是存在联系，这种联系构成了基数的定义
基数
或许已经注意到了势是一个相对的概念，它并没有固定的大小，像是物理学中的势一样，需要有参考，这个参考就称为基数，用基数作为标尺来衡量，在具有基数的前提下势的意义就是集合的元素数
定义1：\(∃α∀β(β<α→|β|<|α|)\)则称\(α\)为基数（人话翻译：若序数的真子集的势均严格小于该序数，则该序数是基数）
定理1：任意自然数是基数，由此有限集合便采用了这一形式去衡量数量，\(|\{5,7,8\}|=3\)实际意义就是集合有3个元素但深层次的解释是因为3作为了基数（标尺）
定理2：自然数集\(ω\)是基数并记作\(ℵ_0\)，有限集合的基数采用了自然数去衡量，无限集合则用\(ℵ_i\)去描述，其中\(ℵ_0\)是无限集合中最小的，自然也会有\(ℵ_1,ℵ_2...\)更大的基数去描述无限的大小
ℵ1是什么？
定义\(ℵ_1=\{α~|~On(α)~∧~|α|≤ℵ_0\}\)，\(ℵ_1\)常常会被描述为自然数集子集的数量，在此定义下表示所有小于\(ℵ_0\)势的序数的集合
证明：为什么\(ℵ_1\)是基数？
这个证明非常复杂，读者可以跳过
定义良序结构\(<ℵ_0,R>\)
定义\(M\)为\(ℵ_0\)内的所有良序关系的集合
定义类函数\(f_R,∀R∈M\)有
\((1)dom~~f_R=ran~~R\)
\((2)f_R(x)=Sup\{f_R(y)~|~yRx~∧~y∈ℵ_0\}\)
因为\(R\)为良序关系，所以\(f_R(x)\)为”小于“\(x\)的良序延拓的下一元素即\(f_R(x)∈ℵ_0\)即是序数，所以\(ran~~f_R\)也是序数集合且由于良序性也是序数，因此\(ran~f_R\)可数
定义类函数\(F\)是\(f_R\)的集成，其中
\((1)dom~~F=M\)
\((2)F(R)=ran~~f_R\)
由于\(ran~~f_R\)是可数的（即势等于\(ℵ_0\)）或有穷的（即势小于\(ℵ_0\)），因此必定有\(F(R)∈ℵ_1\)
由此已经得出了一种函数用于得出\(ℵ_1\)的元素，需要证明下某个\(ℵ_1\)的元素一定可以通过F函数得出
假设\(∀α∈ℵ_1\)其中如果\(α\)是有穷的即能与某个自然数存在映射，定义本身已经定义了一个R因此可以通过F函数得出
如果\(α\)是无穷的即与\(ℵ_0\)等势，那么存在双射\(g:ℵ_0→α\)，即\(∃β∈α∃n∈ℵ_0(β=g(n))\)可以定义关系\(∀n_1,n_2∈ℵ_0(n_1~R~n_2=g(n_1)∈g(n_2))\)且R由于\(ℵ_0\)因此具有良序性，可以证明任何\(ℵ_1\)的元素可以通过F函数得出
在比较早的文章中介绍了替换原则用以将类转成集合的方法。因为\(F\)是类函数，\(M\)是集合，因此\(ran~~(F↾M)\)是集合，根据之前F的定义，\(M=dom~~F,ran~~F=ℵ_1\)，因此\(ran~~(F↾dom(F))=ran~~F=ℵ_1\)是集合
证明是集合后继续证明它是序数
证明序数关键在于证明它具有传递性、三歧性，由于\(ℵ_1\)是序数的集合，三歧性不证自明，只需要证明传递性即可
证明\(∪ℵ_1⊆ℵ_1\)：\(∪ℵ_1=\{x~|~∃y∈ℵ_1(x∈y)\}\)，\(x,y\)是序数根据三歧性有\(x⊆y\)，因此\(|x|≤|y|≤|ℵ_1|\)即\(x∈ℵ_1\)（\(x→y→ℵ_1\)存在单射，\(x⊆y\)使得\(|x|≤|y|≤|ℵ_1|\)成立，x作为y的一部分可部分映射到\(ℵ_1\)，成立后发现x可作为y的元素映射到\(ℵ_1\)的元素内）
证明\(ℵ_1\)是序数后需要证明基数
反证，假设不满足\(∀β(β＜ℵ_1→|β|<|ℵ_1|)\)条件，\(∃β(β＜ℵ_1~∧|ℵ_1|≤|β|~)\)即\(β\)即是\(ℵ_1\)的子集又必须有单射\(F:ℵ_1→β\)，这种可能性只有\(β\)为可数的情况，显然若\(β\)是有穷必然无法得出这样的结论。如果\(ℵ_1\)是可数序数，根据\(ℵ_1\)的定义，可得出\(ℵ_1∈ℵ_1\)，这显然是不可能的奇异集合，因此矛盾。反证得\(ℵ_1\)是基数
超穷基数ℵi
定义：对于任意的序数i均定义\(ℵ_{i+1}=\{β~|~On(β)~∧~|β|≤|ℵ_i|\}\)
证明这些无穷多的基数也是基数可以参考\(ℵ_1\)的证明把\(R⊆ω×ω\)换成\(R⊆ℵ_i×ℵ_i\)即可
同时序数\(i\)如果是极限序数，那么\(ℵ_{i}=∪_{α＜i}ℵ_α\)
有时也会将\(ℵ\)写作\(ω\)或\(κ\)
定理1：\(∀α∀β (|α|<|β|→|ℵ_α|<|ℵ_β|)\)
在这个意义上超穷基数的比较完全基于有穷基数的比较
定义2：基数是特殊的序数，已经知道序数在包含属于关系上具有三歧性，而基数也具有另外一类三歧性是势的三歧性，即任意基数\(κ_1,κ_2\)下述式子中恰好成立一个
■\(|κ_1|<|κ_2|\)
■\(|κ_1|=|κ_2|\)
■\(|κ_1|>|κ_2|\)
这一点根据单射、双射的关系可以得出，这里不作证明
势的比较一般不会刻意写出符号
如\(3<6\)时通常会认为是\(|3|<|6|\)数量上的比较而不是集合范围的比较
不过为了下面讨论的方便不会采用这种说法而是严格根据定义来分成两种比较
共尾性
定义1：有一函数\(f\)若满足下列所有条件则称是【严格单调递增的序数函数】并记作\(Smo(f)\)
■\(dom~f∈On\)
■\(ran~f⊆On\)
■\(∀α,β∈dom~f(α<β→f(α)<f(β))\)（即严格递增）
定义2：共尾性，\(∀α∀β(β≤α)\)且存在严格单调递增的序数函数\(f:β→α\)使得\(∃ζ∈ran~f~~~∀γ∈α(γ≤ζ)\)则称\(α\)共尾于\(β\)记作\(cof(α,β)\)
共尾性相比于\(Smo(f)\)来说除了保持递增的性质外，还保证值域中包含了上域的最大值（上域的每一个元素小于等于值域的某个元素，但\(ran~f⊆α\)即上域的最大值于值域中，此外由于严格递增的要求，很明显定义域最大值→值域最大值，博主认为这是所谓的“共尾”，但这个定义可能更宽泛，有些序数根本没有最大值）
对于三类序数而言有这些基本性质（将\(K_Ⅰ\)表示为后继序数类，\(K_Ⅱ\)表述为极限序数类）
定理1：\(cof(α,0)→α=0\)即0只能与自身共尾
定理2：\(cof(α,1),α∈K_Ⅰ\)即任何后继序数都能和1共尾。
证明：
序数1只有唯一的元素0，序数α存在\(β^+=α\)使得\(f(0)=β\)存在这样的函数且β也是上域α中的最大值满足共尾性。一般认为共尾性对于后继序数、0没什么意义，其主要意义在极限序数中
定理3：\(cof(α,α)\)（自反性）
证明：
可构造函数\(f=\{<β,β>~|~β∈α\},dom~f=α\)
定理4：对于任意\(α\)，存在序数\(β\)，\(cof(α,β)\)
定理5：\(cof(a,β)∧cof(β,γ)→cof(α,γ)\)（传递性）
定理6：\(cof(α,β)~→~(α∈K_Ⅱ←→β∈K_Ⅱ)\)
即极限序数只可能与极限序数共尾
证明：
假设\(α∈K_Ⅱ\)利用反证
若\(β∉K_Ⅱ\)即为0或后继序数
显然0是不可能的
若为后继序数即\(∃Max^+=β\)
则函数有\(f(Max)=α_1\)
极限序数无最大元显然\(∃α_2(α_1<α_2)\)
但\(￢∃ β'(Max<β')\)
故可证明充分性
同理也可证必然性
定理7：\(∀α,β∈K_Ⅱ\)，若\(cof(α,β)\)则存在函数\(f:β→α\)使得\(α=∪(ran~f)\)（该定理阐述了函数和被共尾的序数的关系）
证明：
令该\(f\)使得\(cof(α,β)\)
\(∀α_1∈α←→∃β_1(β_1∈β~∧~α_1<f(β_1))\)
可推得\(α_1∈f(β_1)∈ran~f\)
则\(∃α_2(α_2=f(β_1))\)
即\(α_1<α_2<ran~f\)
根据并集合定义有
\(∀α_1(α_1∈∪(ran~f))\)
可证\(α=∪(ran~f)\)
定理8：对于任意序数\(α\)均有\(α∈K_Ⅱ→cof(ℵ_α,α)\)（可以找到函数\(f = \{<β,ℵ_β> ~|~ β∈α\}\)，如\(cof(ℵ_{ℵ_0},ℵ_0)\)）
定理9：集合\(s⊆On\)则存在序数\(α\)和双射\(f:α→s\)，使得\(∀α_1,α_2∈α\)均有\(α_1<α_2←→f(α_1)<f(α_2)\)（该定理证明了只要存在值域即存在\(Smo(f)\)且有\(f(α_1)<f(α_2)→α_1<α_2\)以及是双射的性质）
证明：
令\(g(β)=Sup\{g(β_1)~|~β_1<β~∧~β_1∈s\}\)
显然\(ran~g\)是序数
\(dom~g\)是序数集合
参考良序关系有\(β_1<β←→g(β_1)<g(β)\)
令\(f=g^{-1}\)
则该\(f\)满足\(Smo(f)\)的所有性质
定理10：对于任意\(α,β\)，若\(β≤α\)且存在函数\(f:β→α\)，满足\(∀α_1∈α,∀β_1∈β(α_1≤f(β_1))\)，则\(∃β_0≤β,cof(α,β_0)\)
定理11：任意序数\(α,β\)，若\(β≤α~∧~|β|=|α|\)，则\(∃β_0≤β(cof(α,β_0))\)
共尾性的特征数
定义1：任意序数\(α\)，使得\(cof(α,β)\)成立的最小序数\(β\)称为共尾性的特征数（简称共尾度），记作\(cf(α)\)
定理1： \(cf(0)=0\)
定理2：\(cf(α^+)=1\)
定理3：\(cof(α,cf(α))\)
定理4： \(cf(α)≤α\)
定理5：\(∀α,cf(α)\)是基数
证明：
令\(β=cf(α)\)根据定义显然是序数
证明基数即证\(∀β_1(|β_1|=|β|→β≤β_1)\)
反证，假设\(β_1<β\)
可得\(β_1<β~∧~|β_1|=|β|\)
可导出\(∃β_2∈β_1^+(cof(β,β_2))\)
可以得到\(β≤β_2≤β_1\)
矛盾，故任何共尾度是基数
正则基数、奇异基数
定义1：\(Car=\{ℵ_α~|~α∈On\}\)（超穷基数类）
定义2：\(Ca=ℵ_0∪Car\)
定理1： \(On=∪Ca\)
定理2：\(∀α(α∈Car→cf(α)∈Car)\)
证明：
\(α∈Car\)所以\(α∈K_Ⅱ\)
因为\(cof(α,cf(α))\)即\(cf(α)∈K_Ⅱ\)
根据Car定义有\(ℵ_0≤cf(α)\)且\(cf(α)\)也是基数
证得\(cf(α)∈Car\)
定理3： \(α∈K_Ⅱ→cf(α)=cf(ℵ_α)\)
证明：
因为\(cof(ℵ_α,α)\)
又因\(cof(α,cf(α))\)
根据传递性可得\(cof(ℵ_α,cf(α))\)
同理可得\(cof(ℵ_α,cf(ℵ_α))\)
因为\(∃β≤cf(ℵ_α)(cof(cf(α),β))\)
根据共尾性两个数的关系可得
\(cf(α)≤β≤cf(ℵ_α)\)
\(cf(ℵ_α)≤cf(α)\)
即证\(cf(α)=cf(ℵ_α)\)
定义3：对于任意无穷基数\(κ\)，若\(cf(κ)=κ\)则称\(κ\)为正则基数；若\(cf(κ)<κ\)则称为奇异基数
如\(κ=λ\)，不管和\(ω\)相关的运算多复杂\(|κ|=ω\)，但从共尾度角度来说\(cf(κ)=ω＜κ\)是奇异基数，这种情况都能用奇异基数来解释。至此要衡量无穷是用正则基数衡量而非运算复杂的奇异基数。如\(cf(ω)=ω\)是最小的无穷正则基数，\(cf(ℵ_1)=ℵ_1,cf(ℵ_2)=ℵ_2,...\)
例题：证明\(cf(ℵ_1)=ℵ_1\)
反证，假设是奇异基数即\(cf(ℵ_1)<ℵ_1\)
因为\(cof(ℵ_1,cf(ℵ_1)),cf(ℵ_1)∈Car\)
故比\(ℵ_1\)小且在Car类中的只有\(ℵ_0\)
即\(cf(ℵ_1)=ℵ_0\)
即存在一函数\(f:ℵ_0→ℵ_1\)
满足\(ℵ_1=∪ran~f\)
满足\(∀α∈ℵ_0(f(α)<ℵ_1)\)即\(f(α)\)是可数的得\(ℵ_0=∪ran~f\)
显然这是矛盾的
定理4： \(∀α∈K_Ⅰ→ℵ_α\)是正则基数
定理5： \(∀α∈K_Ⅱ~∧α＜ℵ_α~→ℵ_α\)是奇异基数
遗留问题：已经有方法用来判定正则基数、奇异基数，然而序数中\(∀α∈K_Ⅱ~∧~α=ℵ_α\)的情况并没有包含在内，在这种条件下如何判定基数是正则还是奇异？
弱不可达基数
定理1：已知函数\(f:s→Ca\)其中\(s\)为非空集合，可得\(∪ran~f\)为基数
证明：
根据替换原则，可得\(ran~f\)为集合
根据Ca定义是序数的集合
\(β=∪ran~f\)为序数
因为\(|β|≤β\)
假设\(|β|＜β\)
则\(∃x∈s(|β|<f(x))~∧f(x)∈ran~f~\)
所以\(f(x)≤β\)
因为\(f(x)∈Ca\)
所以\(f(x)=|f(x)|≤|β|\)
矛盾，因此\(|β|=β\)即是基数
定理2：定义一函数\(f:s→Ca\)且\(∃x∈s(f(x)∈Car)\)，则\(∪ran~f∈Car\)
定理3：存在序数\(α\)使得\(ℵ_α=α\)
证明：
定义递归函数\(h:ℵ_0→Car\)
\(h(0)=ℵ_0,h(n+1)=ℵ_{h(n)}\)
对于第N项它的基数可能会是这样\(h(N)=ℵ_{ℵ_{ℵ_{ \ddots \\ ℵ_{0} }}}\)
根据定理2得\(∪ran~h∈Car\)
令\(ℵ_α=∪ran~h\)（具体形式参考\(h(N)\)）
因为\(α≤ℵ_α\)
假设\(α＜ℵ_α\)
因此\(∃n∈ℵ_0→α<h(n)\)
根据基数三歧性的性质有\(ℵ_α<ℵ_{h(n)}=h(n+1)≤ℵ_α\)
显然矛盾
因此\(α=ℵ_α\)
弱不可达基数定义：已知基数\(ℵ_α\)，若\(α∈K_Ⅱ\)且\(ℵ_α\)是正则基数，则称\(ℵ_α\)是弱不可达基数（正则即\(cf(ℵ_α)=ℵ_α\)根据定理\(cf(α)=cf(ℵ_α)\)即\(α=ℵ_α\)）
弱不可达基数的具体形式可参考证明中\(h(N)\)，它相当于有无穷多的下标的超穷基数，但却是正则基数。关于弱不可达基数的存在性在目前所讨论的ZFC公理体系内无法证明，其他公理体系可证明，这也是遗留问题中比较特殊的基数类型
序数、良序集合的划分
基数可以说是对序数的一种分类，它根据双射进行分类，从数学上序数的双射关系具有等价性（具有自反性、对称性、传递性简称具有等价性），这种分类也称为等价类或划分。每一划分都是序数的集合，其中划分内的最小序数就是基数，从这样的角度来解释基数更容易。对于有限的自然数而言，它的划分是唯一元素，而无穷序数其划分则是无穷的，对于无穷序数的划分引入如下定义
定义1：对于任意序数集合\(s\)和基数\(β∈s\)，若满足(1)\(x∈s→β≤x\) ；(2)\(α\)是大于\(β\)的最小基数，则\(∀x∈α(β≤x→x∈s)\)。则称\(s\)是序数的截断或\(β\)的上截断。由此可以将序数划分看成截断，每一截断都有基数相对应
定义2：已知任意序数\(α,β\)，则\(Seg(α,β)=\{x~|~α≤x~∧~x<β\}\)称为序数\(α\)到\(β\)的一段。该定义是针对任意序数而言的，简单来说就是\(α≤x＜β\)内的序数
定理1：若\(β≤α\)显然\(Seg(α,β)=Ø\)
定理2：\(<Seg(α,β),∈>\)显然是良序结构
定义3：\(Is(α)=\{s~|~∃R(Iso(s,α,R,∈))\}\)（任意良序集合必然存在序数与之同构，\(Is(α)\)可反过来从同构的序数对良序集合进行分类，如\(Is(3)\)为所有与3同构的良序集合）
定理3：\(Is(α)\)具有等价性
证明：
显然\(∀α(α∈Is(α))\)即具有自反性
\(∀α∀β(α∈Is(α)~∧~α∈Is(β)→β∈Is(α)~∧~β∈Is(β))\)
即具有对称性
同理具有传递性
那么\(Is\)相当于对所有良序集合的一种划分
定理4：\(∀α~~Is(α)\)是真类
序数可以对良序集合划分，基数可以对序数划分，即基数也可以对良序集合划分
On与Ca的同构性
定义1：任意类\(C\)和关系\(R⊆C×C\)且\(R\)是传递的、三歧的。\(C_0包含R~∧~C_0≠Ø\)均存在R上的首元素，且是左狭窄的（\(∀x∈C(O_R(X)=\{y~|~y∈C~∧~yRx\}为集合)\)）那么称\(R\)良序了类\(C\)
定义2：已知类\(C\)，若存在关系R良序了类C，则称\(C\)是良序类，若\(C\)是真类，称为良序的真类
定理1：\(On\)是良序的真类（由于序数的性质可以直接证得属于关系良序了\(On\)，且由于悖论是真类）
定理2：\(Car\)是真类
证明：
根据定义\(∃f:On→Car,f(α)=ℵ_α\)且是双射
\(∃f^{-1}:Car→On,f(ℵ_α)=α\)
\(ran~f^{-1}=On\)
根据替换原则，若Car是集合，显然On也是集合
矛盾，故Car是真类
定理3：\(Ca\)是真类
定理4：基数的自然次序\(<\)良序了\(Car\)
证明：
根据基数性质显然有传递性（参考最初的定义）、三歧性
且\(∀C⊆Car~∧C≠Ø~\)存在最小序数
\(→∀x∈Car(O(x)=\{y~|~y∈Car~∧~y<x\})\)
\(∃f:On→Car~f(α)=ℵ_α~\)其中\(α\)序数必然是集合
可得\(O(x)=ran~(f↾α)\)是集合
定义3：已知真类\(C_1,C_2\)，若\(R_1\)良序了\(C_1\)，\(R_2\)良序了\(C_2\)，若存在双射类函数\(f:C_1→C_2\)使得\(∀x,y∈C_1(xR_1y→f(x)R_2f(y))\)，则称\(<C_1R_1>\)和\(<C_2,R_2>\)是同构的
定理5：\(On\)与\(Car\)是同构的
根据Car的定义\(∃f:On→Car,f(α)=ℵ_α\)且是双射
也满足\(∀α∀β(α<β→|ℵ_α|<|ℵ_β|)\)（保序性）
故证得同构性
即序数与超穷基数之间可以使用\(ℵ\)的运算来实现
总结
从可数序数引入了基数的概念，且从共尾性上分成了正则基数、奇异基数、弱不可达基数。且基数是针对序数的划分，结合良序性得出了On、Ca之间的同构性
参考书籍
《公理集合论导引》张锦文
