公理集合论(三):基数理论
请读者具备离散数学的基础
20230203:简化部分描述
三、基数
可数序数
定义1:若序数
例如整数集可以构造函数
定理1:如果集合的元素数有限那么必然可以当作良序集合即必定是可数,但如果是无穷集合就不一定了,因此如果要去证明集合是否可数一般会去讨论无穷集合
定理2:序数
如证明
这其实是二维的形式,取决于
当
同理当
无穷维时,其映射的数量也是无数个,但可以用归纳法去简化描述
令
直观上得到了如下的映射表
公式对应于
定理3:若
证明:
加法的本质实际上是求解后继元素,因此可以构造
这种形式实际上就是上面论证整数集为什么是可数的方法,即划分区域,比如划分了12个区域,则对应于有无穷元素的自然数可以划分出可能长短不一的12个区域进行对应。整数则划分了0、正整数、负整数,则分别对应于自然数的0、奇数、0以外的偶数(如果能想得更远的话,元素数相等的区域实际上就是求余得等价类)
乘法实质是加法的累加,既然加法成立,累加自然也成立,同理幂乘的累乘也成立
定义2:
定义3:
定理4:定义2定义3中的序数均为可数序数。就可数的性质而言,自然数集推广到了
势
对于任意序数
当然反过来还有其他符号诸如
为什么说单射、双射就是模拟计数的过程。举个例子,
比较运算符实际是分成了两种。一个是基于属于、包含的关系
序理论中的比较是基于范围的,而基数比较是基于数量的,两者并不相同,但是存在联系,这种联系构成了基数的定义
基数
或许已经注意到了势是一个相对的概念,它并没有固定的大小,像是物理学中的势一样,需要有参考,这个参考就称为基数,用基数作为标尺来衡量,在具有基数的前提下势的意义就是集合的元素数
定义1:
定理1:任意自然数是基数,由此有限集合便采用了这一形式去衡量数量,
定理2:自然数集
ℵ1是什么?
定义
证明:为什么
这个证明非常复杂,读者可以跳过
定义良序结构
定义
定义类函数
因为
定义类函数
由于
由此已经得出了一种函数用于得出
假设
如果
在比较早的文章中介绍了替换原则用以将类转成集合的方法。因为
证明是集合后继续证明它是序数
证明序数关键在于证明它具有传递性、三歧性,由于
证明
证明
反证,假设不满足
超穷基数ℵi
定义:对于任意的序数i均定义
证明这些无穷多的基数也是基数可以参考
同时序数
有时也会将
定理1:
在这个意义上超穷基数的比较完全基于有穷基数的比较
定义2:基数是特殊的序数,已经知道序数在包含属于关系上具有三歧性,而基数也具有另外一类三歧性是势的三歧性,即任意基数
■
■
■
这一点根据单射、双射的关系可以得出,这里不作证明
势的比较一般不会刻意写出符号
如
不过为了下面讨论的方便不会采用这种说法而是严格根据定义来分成两种比较
共尾性
定义1:有一函数
■
■
■
定义2:共尾性,
共尾性相比于
对于三类序数而言有这些基本性质(将
定理1:
定理2:
证明:
序数1只有唯一的元素0,序数α存在
定理3:
证明:
可构造函数
定理4:对于任意
定理5:
定理6:
即极限序数只可能与极限序数共尾
证明:
假设
若
显然0是不可能的
若为后继序数即
则函数有
极限序数无最大元显然
但
故可证明充分性
同理也可证必然性
定理7:
证明:
令该
可推得
则
即
根据并集合定义有
可证
定理8:对于任意序数
定理9:集合
证明:
令
显然
参考良序关系有
令
则该
定理10:对于任意
定理11:任意序数
共尾性的特征数
定义1:任意序数
定理1:
定理2:
定理3:
定理4:
定理5:
证明:
令
证明基数即证
反证,假设
可得
可导出
可以得到
矛盾,故任何共尾度是基数
正则基数、奇异基数
定义1:
定义2:
定理1:
定理2:
证明:
因为
根据Car定义有
证得
定理3:
证明:
因为
又因
根据传递性可得
同理可得
因为
根据共尾性两个数的关系可得
即证
定义3:对于任意无穷基数
如
例题:证明
反证,假设是奇异基数即
因为
故比
即
即存在一函数
满足
满足
显然这是矛盾的
定理4:
定理5:
遗留问题:已经有方法用来判定正则基数、奇异基数,然而序数中
弱不可达基数
定理1:已知函数
证明:
根据替换原则,可得
根据Ca定义是序数的集合
因为
假设
则
所以
因为
所以
矛盾,因此
定理2:定义一函数
定理3:存在序数
证明:
定义递归函数
对于第N项它的基数可能会是这样
根据定理2得
令
因为
假设
因此
根据基数三歧性的性质有
显然矛盾
因此
弱不可达基数定义:已知基数
弱不可达基数的具体形式可参考证明中
序数、良序集合的划分
基数可以说是对序数的一种分类,它根据双射进行分类,从数学上序数的双射关系具有等价性(具有自反性、对称性、传递性简称具有等价性),这种分类也称为等价类或划分。每一划分都是序数的集合,其中划分内的最小序数就是基数,从这样的角度来解释基数更容易。对于有限的自然数而言,它的划分是唯一元素,而无穷序数其划分则是无穷的,对于无穷序数的划分引入如下定义
定义1:对于任意序数集合
定义2:已知任意序数
定理1:若
定理2:
定义3:
定理3:
证明:
显然
即具有对称性
同理具有传递性
那么
定理4:
序数可以对良序集合划分,基数可以对序数划分,即基数也可以对良序集合划分
On与Ca的同构性
定义1:任意类
定义2:已知类
定理1:
定理2:
证明:
根据定义
根据替换原则,若Car是集合,显然On也是集合
矛盾,故Car是真类
定理3:
定理4:基数的自然次序
证明:
根据基数性质显然有传递性(参考最初的定义)、三歧性
且
可得
定义3:已知真类
定理5:
根据Car的定义
也满足
故证得同构性
即序数与超穷基数之间可以使用
总结
从可数序数引入了基数的概念,且从共尾性上分成了正则基数、奇异基数、弱不可达基数。且基数是针对序数的划分,结合良序性得出了On、Ca之间的同构性
参考书籍
《公理集合论导引》张锦文
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