欧氏几何：几何原本（卷三）

定义

部分定义博主进行解读

[1]等圆是指直径或半径相等的圆

[2]线与圆的关系：相离、相切、相交

[3]圆与圆的关系：相离、外切、相交、内切、内含

[4]圆内有两条弦，弦心距是指圆心到弦的垂线

[6]弓形是由弦和弧所围成的图形

[7]弓形的角是平面角，由其弓形的弧和弦所构成

[8]圆周角是弓形的圆弧上取一点，连接圆弧的端点的两条线的夹角（原书中称为弓形角，后续内容博主均称作圆周角）

[9]圆周角张于这段圆弧

如图所示，弓形的角是指弧ABC和直线AC构成的平面角；圆周角是指∠ABC（圆弧ABC上一点B即两端点A、C构成的直线角）；圆周角张于圆弧ABC

[10]扇形是指圆心在圆心角的两边和所截的圆弧所围成的图形

[11]相似弓形是指含有相等弓形角的弓形

命题

[1]已知圆，求其圆心（尺规作图）

[2]圆周上任意取两点，连接两点的线段（弦）必定在圆内（*）

[3]垂径定理：已知圆以及圆的直径、不过圆心的弦，若直径、弦成直角，则直径平分弦

[4]已知圆和两条不过圆心的弦，则两弦必定不互相平分

[5]已知两圆相交，则两圆的圆心不在同一位置

[6]已知两圆相切，则两圆的圆心不在同一位置

[7]已知圆和一条直径，在直径上任意取一个非圆心的点，则这个点到圆周上的所有线段中这条直径被点分割较长的一段是最长的线段，这条直径被点分割较短的一段是最短的线段（备注：该命题以及后续命题博主建议采用任意变量的做法更容易证明，受限于该篇博客的定位，博主无法给出详细证明）

[8]已知圆，圆外取一点，则这个点到圆周上的所有线段中，这个点与圆心形成的直线上的到圆周的两条线段，较长的一条是最长的，较短的一条是最短的

[9]已知圆（不知道圆心），圆内取一点，若这个点到圆周上的所有线段中，有多于两条线段相等，那么这个点就是圆心（尺规作图）

[10]圆和圆之间的交点最多两个（尺规作图）（*）

[11]若两圆内切，连接两圆心，则这条线段延长后必定经过切点

[12]若两圆外切，连接两圆心，则这条线段必定经过切点

[13]若两圆内切或外切，则切点最多一个（备注：只有一个）（*）

[14]圆中若两弦相等则弦心距相等；反之，弦心距相等对应的弦也相等

[15]圆中的所有弦中直径最长，弦心距越短即越接近圆心的弦越长

[16]已知圆及其某一直径，过直径某端点作一直角，则该直线必定于圆外，这样的直线只有一条，且（推论：即相切）

[17]已知圆和圆外某点，过该点作圆的切线（尺规作图）

[18]若某一直线与圆相切，则圆心到切点的直线必定垂直于切线

[19]若直线与圆相切，作垂直于切线且过切点的直线，则圆心必定于作的这条直线上

[20]圆周角定理：于圆内，同弧（弓形）上的圆心角是圆周角的两倍

[21]于圆内，同弧（弓形）上的任意圆心角都是相等的

[22]已知圆，内接任意四边形，其对角和必然等于180度

[23]于同一线段上无法作出两个相似且不相等的弓形

[24]相等线段上相似弓形是相等的（*）

[25]已知弓形，作一弓形于其上的圆（尺规作图）

[26]已知两个等圆，若其上的圆心角或圆周角相等，则对应的弧（弓形）也相等

[27]已知两个等圆，若其上的弧（弓形）相等，则对应的圆心角或圆周角也相等

[28]已知两个等圆，用长度相等的弦截取弧，则优弧、劣弧对应相等（备注：圆上选取两点，所截取较长的称为优弧，较短的称为劣弧。直径截取即优弧等于劣弧）

[29]已知两个等圆，等弧对应的弦也相等

[30]已知弧，二等分该弧（尺规作图）

[31]直径的圆周角为直角（因为直径的圆心角为180度，圆周角对应的弓形恰好是半圆），比半圆小的弓形圆周角小于直角，比半圆大的弓形圆周角大于直角

[32]弦切角定理：若直线与圆相切，过切点且过圆内部作直线相截的弓形，则直线与切线所成的角（弦切角）等于所截弓形的圆周角（备注：弦切角是指弦与切线的夹角）

[33]已知角，在给定线段上作弓形，使得弓形的圆周角等于已知角（尺规作图）

[34]已知角，在给定圆上作弓形，使得弓形的圆周角等于已知角（尺规作图）

[35]相交弦定理：圆内有任意两条弦AB、CD相交于E点，则$AE.CE=BE.DE$（可用相似三角形ACE、BDE证明）

[36]切割线定理：圆外取一点P，作过点相切圆的切线PT，作过点经过圆内部的截线PR且另外交点为Q，则$P{T}^2=PQ.PR$（根据勾股定理、垂径定理可简单证明）

[37]切割线定理逆定理：圆外取一点P，作过点和圆上某点的线PT，作过点经过圆内部的截线PR且另外交点为Q，若$P{T}^2=PQ.PR$，则PT为切线

补充——割线定理：Jakob Steiner（约西元1800）提出，圆外取一点P，作过点经过圆内部的两条截线PA、PC且另外交点为B、D，则$PA.PB=PC.PD$

补充——圆幂定理：圆幂定理是相交弦定理、切割线定理、割线定理的统一形式。交点为P的两条与（半径为R的）圆相交的直线交于A、B与C、D，则$PA.PB=PC.PD$

其中$O{P}^2-R^2$称为点P对圆的幂，根据圆幂的正负还可判断点的位置，当圆幂为正数时即点于圆外，当圆幂为零时即点于圆上，当圆幂为负时即点于圆内。从点的大体位置上来看可以得到，相交弦定理是点于圆内，切割线定理和割线定理是点于圆外。

从割线的相交点位置来看，切割线定理是一条割线相交点只有一个的情况，割线定理是两条割线相交点均为两点的情况。圆幂定理是更加通用的定理，只要存在割线（哪怕是一条也可以当作重合的两条，虽然这样推导的式子没什么意义）、点、圆即可存在关系，实际使用时可以忽略相交弦定理、切割线定理、割线定理这种特殊情况

总结

主要介绍圆相关的命题，重要定理有垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、圆幂定理

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参考资料

[1]《几何原本》译林版