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欧氏几何：几何原本（卷二）

定义

1.矩形是指邻边夹角为直角的平行四边形

2.拐尺形是指平行四边形中的补形以及形成的小的平行四边形（如图虚线部分）

命题

由于命题过多博主无法详细说明证明，卷2命题主要是通过矩形、正方形表述面积以及之间的等式，博主建议从代数角度去看待

[1]已知矩形，其中一条线段被截成几部分，则截成的几部分矩形的面积之和等于原矩形面积（矩形=矩形1+矩形2+...）（代数表示： $a (b + c + . . . = a b + a c + . . .)$ ）

[2]简化表述： $S_{正方形 A B E D} = S_{矩形 A C F D} + S_{矩形 B C F E}$ （代数表示： $a (a + b) + b (a + b) = (a + b)^{2}$ ）

[3]简化表述： $S_{矩形 A B E F} = S_{矩形 A C D F} + S_{正方形 B C D E}$ （代数表示： $a (a + b) = a^{2} + a b$ ）（备注： $A C = b, B C = a$ ）

[4]简化表述： $S_{正方形 A B E D} = S_{正方形 B C G K} + S_{正方形 D F G H} + 2 S_{补形 A C G H}$ （代数表示： $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ）（备注： $A C = a, B C = b$ ）

[5]简化表述： $S_{矩形 A D H K} + S_{正方形 E G H L} = S_{正方形 B C E F}$ （代数表示： $a b + (\frac{1}{2} (a + b) - b)^{2} = (\frac{1}{2} (a + b))^{2}$ ）（备注： $A K = b, A D = a$ ）

[6]简化表述： $S_{矩形 A D M K} + S_{正方形 E G H L} = S_{正方形 C D F E}$ （代数表示： $b (a + b) + {\frac{a}{2}}^{2} = (\frac{a}{2} + b)^{2}$ ）（备注： $A B = a, B D = b$ ）

[7]简化表述： $S_{正方形 A B E D} + S_{正方形 B C G F} = 2 S_{矩形 A B F H} + S_{正方形 D H G N}$ （代数表示： $(a + b)^{2} + a^{2} = 2 a (a + b) + b^{2}$ ）（备注： $A C = b, B C = a$ ）

[8]简化表述： $4 S_{矩形 A B K M} + S_{正方形 E H Q O} = S_{正方形 A D F E}$ （代数表示： $4 a (a + b) + b^{2} = (2 a + b)^{2}$ ）（备注： $B C = a, A C = b$ ）

[9]简化表述： $A D^{2} + B D^{2} = 2 A C^{2} + 2 C D^{2}$ （代数表示： $(a - b)^{2} + b^{2} = 2 {\frac{a}{2}}^{2} + 2 (\frac{a}{2} - b)^{2}$ ）（备注： $A B = a, B D = b$ ）

[10]简化表述： $A D^{2} + B D^{2} = 2 A C^{2} + 2 C D^{2}$ （代数表示： $(a + b)^{2} + b^{2} = 2 {\frac{a}{2}}^{2} + 2 (\frac{a}{2} + b)^{2}$ ）（备注： $A B = a, B D = b$ ）（证明参考勾股定理）

[11]已知线段AB，寻找一分点H使得 $S_{矩形 B D K H} = S_{正方形 A F G H}$ （尺规作图）

结论：设AC中点为E，作EF使得BE=EF，AF作正方形，则H为所求点

[12]钝角三角形的边关系： $B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} + 2 A C . C D$ （证明参考命题6）

[13]锐角三角形的边关系： $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 B C . B D$ （证明参考命题7）

[14]已知直线形，作正方形使得面积等于直线形面积（尺规作图）（结合卷一命题可降级为已知矩形，如何作等面积的正方形。如图已知 $S_{矩形 B C D E} + E F^{2} = G F^{2}$ （参考命题5），以GF作圆且GE=EF即 $G H^{2} = G E^{2} + H E^{2}$ 可得HE为边的正方形其面积等于矩形）