欧式几何：几何原本（卷一）

公理-点、线、面、角、图形

1.点是没有部分的

2.线只有长度而无宽度

3.线的两端为点

4.直线是它上面的点一样平放着的线（无端点、不可度量、长度无限）

5.面只有长度和宽度（面没有高度）

6.面的边缘是线

7.平面是它上面的线一样地平放着的面

8.平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度

9.当包含角的两条线都是直线时，这个角叫直线角（对顶角、邻补角）

10.当一条直线和另一条直线交成的邻补角彼此相等时，这些角均为直角，且称这条直线垂直于另一条直线

11.大于直角的角叫做钝角

12.小于直角的角叫做锐角

13.边界是物体的边缘

14.图形是被一个边界或几个边界所围成的

15.圆是由一条线围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接的所有线段（半径）均相等

16.圆内的这个点称为圆心

17.圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆周截得的线段，且把圆二等分

18.半圆是直径和由它截得的圆周所围成的图形，且半圆和圆的圆心相同

19.直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线段围成的，多边形是由四条以上线段围成的

20.在三边形中，等边三角形是三条边相等的三边形；等腰三角形只有两条边相等的三边形；不等边三角形是指各边不相等的三边形

21.在三边形中，直角三角形是有一角为直角的三边形；钝角三角形是有一角为钝角的三边形；锐角三角形是三角为锐角的三边形

22.在四边形中，正方形是四边相等且四角为直角的四边形；长方形是四边不全等且四角为直角的四边形；菱形是四边相等且四角不为直角的四边形；斜方形是对角、对边相等但灵便不全等、角不为直角的四边形；其余四边形称为不规则四边形（与现代定义不同，没有斜方形→菱形→矩形→正方形的包含关系）

23.平行直线是在同一平面内一些直线，可无限延长且永不相交

公设-尺规作图

1.由任意一点到另外任意一点可以画直线（未确定直线是否唯一）

2.有限直线可以继续延长

3.以任意点为心及任意的距离（半径）可以画圆

4.凡直角彼此相等

5.同平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二倍直角，则这两条直线无限延长后必定在这一侧相交

公理-简单算术

公设与公理在现代意义上没有任何区别，但是在欧几里得的视角来说，公设是关于几何的性质，公理则是关于几何的数量

1.等量代换：等于同量的量彼此相等（$a=c\wedge b=c\to a=b$）

2.等式：等量加等量，其和仍相等（$a=b\to \forall ca+c=b+c$）

3.等式：等量减等量，其差仍相等（$a=b\to \forall ca-c=b-c$）

4.全等形：彼此能重合的物体是全等的（$A≌B$）

5.整体大于部分（$a+c>a$）

命题

由于命题过多博主无法详细说明证明，部分命题博主会使用Euclidea作图，关于原著中有博主认为证明不严谨的地方会打上(*)标记

[1]已知线段AB，作等边三角形ABC（尺规作图）

[2]已知线段AB和点P，作P点出发与线段AB等长的线段PQ（尺规作图）

[3]已知线段AB和线段CD，这两个线段不等长，从大线段截取一段AP使得线段AP等于线段CD（尺规作图）

[4]SAS：若三角形ABC与三角形DEF，满足AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，则这两个三角形全等（假设平移图形）（*）

[5]已知等腰三角形ABC，则底角∠ABC=∠ACB（尺规作图）

[6]已知三角形两角相等，则对应的两边也相等

[7]已知一线段，从线段两端点作两条线段使得相交于一点，则不可能作出相交于另外一点的两条线段使得作出的与前面作出的长度相等，两次作出的线段必须位于同侧（*）

[8]SSS：两个三角形，若三边对应相等，则角对应相等（假设平移图形）（*）

[9]已知直线角A，尝试二分此角，其中二分此角的线称为角平分线（尺规作图）

[10]已知线段AB，二分此线端，其中二分此线段的线称为中垂线（尺规作图）

[11]已知线段AB，求过直线上的C点的垂线（尺规作图）

[12]已知直线l，作过C点垂直于直线l的垂线（尺规作图）

[13]已知线段$l1$，与线段$l2$相交（其中一端点于$l1$上），其中相交交成的角必定互补（注：原书中表述为交成的角为两个直角或其和等于两个直角）

[14]已知线段$l1$，过该线段端点的两条线段$l2,l3$，若所成两角互补，则这两条线段于一条直线上

[15]两直线相交，对顶角相等（推论：交点形成的角恰好是四倍直角）

[16]三角形外角大于任意内对角（尺规作图）

[17]三角形内任意两角和小于180度

[18]三角形大边对大角

[19]三角形大角对大边

[20]三角形任意两边大于第三边（充分条件）

[22]三条线段形成三角形的条件是任意两边大于第三边（必要条件）（尺规作图）

[21]三角形ABC固定底边BC，内作一三角形DBC，其中DB+DC<AB+AC且∠BDC > ∠BAC（尺规作图）

[23]已知线段AB，作∠A=∠C（尺规作图）

[24]两个三角形ABC、DEF，其中AB=DE，AC=DF，若∠A＞∠D则其角对应的边也满足BC＞EF

[25]两个三角形ABC、DEF，其中AB=DE，AC=DF，若BC＞EF则边对应的角也满足∠A＞∠D

[26]ASA：两个三角形，若两角对应相等且两角相关联的边对应相等则全等

[27]一直线与两直线相交，若内错角相等，则两直线平行

[28]一直线与两直线相交，若同位角相等或同旁内角之和等于180度，则两直线平行

[29]若两直线平行，一直线与两直线相交，则内错角相等、同位角相等、同旁内角之和等于180度

[30]平行传递性：平行于同一直线也互相平行

[31]已知一直线，作直线外一点的平行线（尺规作图）

[32]任意三角形的任意外角等于两内对角之和且三角形内角和为180度（尺规作图）

[33]已知两直线AB、CD平行且相等，那么所连成的线段AC、BD平行且相等（尺规作图）

[34]平行四边形中，对边、对角相等且对角线可平分平行四边形

[35]同底且在相同平行线间的两个平行四边形面积相等（备注：原书中直接说相等，但实际是说面积相等）

[36]等底且在相同平行线间的两个平行四边形面积相等

[37]同底且在相同平行线间的两个三角形面积相等

[38]等底且在相同平行线间的两个三角形面积相等

[39]同底且在同一侧面积相等的两个三角形必定在相同平行线间

[40]等底且在同一侧面积相等的两个三角形必定在相同平行线间

[41]同底的平行四边形和三角形在相同平行线间，则平行四边形的面积是三角形的两倍

[42]已知一直线角，作平行四边形（某一角恰好等于已知直线角）面积等于已知三角形（尺规作图）

[43]任意平行四边形，其两边的平行四边形的补形面积相等（如下图BEKG的面积等于DFKH的面积）

[44]已知线段、角、三角形，贴合线段作一平行四边形（其中一角等于已知角）使得面积等于已知三角形（尺规作图）

[45]已知角、直线形，作一平行四边形使得面积等于已知直线形（尺规作图）（大致思路：直线形拆解为三角形然后结合上一定理拼接平行四边形）

[46]已知线段作正方形（尺规作图）

[47]勾股定理：直角三角形中，直角边对应的正方形的面积之和等于斜边对应的正方形的面积

由于这个定理过于经典，博主在此给出证明过程

如图所示，已知直角三角形ABC，且AB⊥AC。AB对应正方形ABFG，AC对应正方形ACKH，BC对应正方形BCED

过点A作AL平行于BD

可以得出三角形ABD≌三角形BCF，三角形ACE≌三角形BCK

根据定理41可得

平行四边形BL的面积是三角形ABD的两倍，平行四边形CL的面积是三角形ACE的两倍；

正方形ABFG面积是三角形BCF的两倍，正方形ACKH面积是三角形BCK的两倍

此时可得平行四边形BCED的面积=两倍三角形ABD面积+两倍三角形ACE面积=两倍三角形BCF面积+两倍三角形BCK面积=正方形ABFG面积+正方形ACKH面积

[48]勾股定理逆命题：三角形中一边上的正方形等于另外两边上的正方形之和，则另外两边的夹角为直角

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参考资料

[1]《几何原本》译林版