公理集合论（二）：序理论

请读者具备离散数学的基础

2022,12,28：修正部分错误解读

2023,01,25：简化部分解读

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二、序数

定义自然数

后继：$x^{+}=x\cup \{x\}$称为$x$的后继

自然数的定义如下

$0=Ø$

$1=0^{+}=\{0\}$

$2=1^{+}=\{0,1\}$

...

$n=(n-1{)}^{+}=\{0,1,...,n-1\}$

初始情况为空集，由递推关系得到了无穷多的自然数

对于自然数可以发现另外的性质

(1)$0\in 1\in 2\in 3...$

(2)$0\subseteq 1\subseteq 2\subseteq 3...$

从自然数至归纳集合

但自然数也没有可能构成一个无穷元素数的集合？虽然无法从已知推得出，但从无穷集合存在原则可以得出自然数集的存在性

自然数集定义：$\omega =\{x|\forall y(0\in y\wedge \forall z(z\in y\to z^{+}\in y)\to x\in y)\}$（集论中一般用$\omega$而非$N$）

自然数集有非常明显的特征，1.初始元素0；2.后继条件，元素满足属于关系其后继也满足属于关系，依据这两类条件引出更通用的定义

无穷集合存在原则：一定存在归纳集合

$s=\{x|x\in s\wedge \forall y(0\in y\wedge \forall z(z\in y\to z^{+}\in y)\to x\in y)\}$

（推论：自然数属于任何归纳集合）

定理1：显然$\omega$是归纳集合

定理2：对于任意集合$s$，若$s$是归纳集合，那么$\omega \subseteq s$（自然数属于任何归纳集合，且自然数集是归纳集合可证得）

ω归纳定理：若$T\subseteq \omega$且$T$为归纳集合，则$T=\omega$（结合定理2可简单证明）

从定理1附加上外延原则即可证明，表明任意自然数集合的归纳子集都是等价于自身的

数学归纳法：

■在自然数集范围内，若要证明命题$A(n),n\in \omega$

■令$T=\{n|n\in \omega \wedge A(n)\}$即自然数集的子集

■只要证明该集合$T$是归纳集合即可，根据归纳集合特性

■证明$0\in T$即$A(0)\equiv true$

■证明$\forall k\in T(k^{+}\in T)$，即假设$\forall k\in T$成立判定$k^{+}\in T$成立（也可以假设$k^{+}$成立反过来证明其前驱$k$成立，这种形式也称为反向数学归纳法，数学归纳法有相当多的变种，这里不作具体介绍）

■证明完成，$T$是归纳集合即命题成立

皮亚诺(Peano)自然数公理系统

该公理系统简记为$<\omega ,y^{+},0>$

(1)$0\in \omega$

(2)$\forall x\in \omega (x^{+}\in \omega )$

(3)$\forall x\in \omega (x^{+}\ne 0)$

解释：前两条定义并不能描述自然数，第三、四条是打补丁，任何自然数后继不能为0即代表0是首个元素

(4)$\forall x\in \omega \forall y\in \omega (x^{+}=y^{+}\to x=y)$

解释：保证自然数前驱的唯一性

(5)有一任意公式$A(x)$，$A(0)\wedge \forall x\in \omega (A(x)\to A(x^{+}))\to \forall x\in \omega A(x)$

解释：即数学归纳法定义在自然数集上通用的运算性质

传递性

传递集合定义：集合$s$满足$\forall x\forall y(x\in y\wedge y\in s\to x\in s)$称为传递集合（即每一元素的所有元素是该集合的元素）

定理1： s是传递集合，当且仅当$\cup s\subseteq s$（可将传递集合看成条件更严格的并集合，可用一阶逻辑简单证明）

定理2：集合$s$是传递集合，当且仅当$\forall x\in s(x\subseteq s)$或$s\subseteq 𝓟(s)$

证明：

这里用第一个进行形式证明

$\forall x\in s(x\subseteq s)\iff \forall x\forall y(x\in s\to (y\in x\to y\in s))$

$\iff \forall x\forall y(x\notin s\vee y\notin x\vee y\in s)$

$\iff \forall x\forall y(y\in x\wedge x\in s\to y\in s)$

调换x、y会发现就是定义的形式

结合定理1可推出$\cup s\subseteq s$当且仅当$s\subseteq 𝓟(s)$

定理3：对于任意的传递集合s有

定理4：任意自然数具有传递性（数学归纳法可证）

定理5：传递性证明Peano公理系统中$\forall x\in \omega \forall y\in \omega (x^{+}=y^{+}\to x=y)$

定理6：自然数集$\omega$具有传递性

证明：

令$T=\{n|n\in \omega \wedge n\subseteq \omega \}$

显然$0\in T$

假设$k\in T$

可得$\{k\}\subseteq \omega$得$k^{+}=k\cup \{k\}\subseteq \omega$

显然有$k^{+}=\cup \{k,\{k\}\}\in \omega$

可证得自然数集具有传递性

定理7：若$x$是传递集合，则$x^{+}$也是传递集合

证明：

因为$\cup x\subseteq x$

$\cup x^{+}=\cup (x\cup \{x\})=(\cup x)\cup (\cup \{x\})=(\cup x)\cup x=x$

即$\cup x^{+}\subseteq x\subseteq x^{+}$

定理8：$𝓟(x)$是传递集合，当且仅当x是传递集合

必要性证明：

$\cup x\subseteq x\subseteq 𝓟(x),\cup 𝓟(x)=x\subseteq 𝓟(x)$

充分性证明：

$\cup 𝓟(x)\subseteq 𝓟(x)\subseteq 𝓟(𝓟(x))$

$\cup 𝓟(x)=x\subseteq 𝓟(x)$

定理9：若$x$为传递集合，或$x$不是传递集合但其所有元素都是传递集合，则$\cup x$也是传递集合

证明1：

若$x$为传递集合有$\cup x\subseteq x\subseteq 𝓟(x)$

有$\cup x\subseteq 𝓟(\cup x)=x$

证明2：

若为$x$不为传递集合但其元素均为传递集合

则有$\forall s\in x(\forall y\in s(y\subseteq s))$

$\cup x=\{y|\exists s(y\in s\wedge s\in x)\}$

即$\cup x$满足$\exists s\in \cup x(\forall y\in s(y\subseteq s))$

可得$\forall y\in \cup x(y\subseteq \cup x)$

三歧性

在序数中也常用比较符号表示包含属于关系，如下表

（备注，以下表格等价是尚未证明的）

仅有$\alpha <\beta \leftarrow \to \alpha \in \beta$或$\alpha >\beta \leftarrow \to \beta \in \alpha$作记号

$\alpha \ge \beta \leftarrow \to \alpha >\beta \wedge \alpha =\beta$

$\alpha \le \beta \leftarrow \to \alpha <\beta \wedge \alpha =\beta$

符号	等价的形式
$\alpha >\beta$	$\beta \in \alpha$（或$\beta {\subseteq }_{+}\alpha$）
$\alpha <\beta$	$\alpha \in \beta$（或$\alpha {\subseteq }_{+}\beta$）
$\alpha =\beta$	$\alpha \subseteq \beta \wedge \beta \subseteq \alpha$
$\alpha \ne \beta$	$\beta \not\subset \alpha \vee \beta \not\subset \alpha$
$\alpha \ge \beta$	$\beta \subseteq \alpha$
$\alpha \le \beta$	$\alpha \subseteq \beta$

∈三歧性定义：对于一个集合$s$，若$\forall x,y\in s$且(1)$x<y$,(2)$x=y$,(3)$x>y$中恰有一个成立，则称在该集合上∈关系满足三歧性

定理1：显然自然数集具有三歧性

定理2：显然任意自然数具有三歧性

从无穷集合至序数

自然数引出了无穷集合，但从自然数集普遍存在的传递性、三歧性上可以继续推广出新的集合——序数

(1)0是序数

(2)若a是序数，则$a^{+}$为序数，也称为后继序数

(3)若s是序数的集合，则$\cup s$为序数，也称为极限序数

(4)任意序数均可由(1)(2)(3)得到

定理1：任意自然数$n$是序数，自然数集$\omega$也是序数

证明：

显然自然数是序数

由于传递性$\cup \omega \subseteq \omega$

根据归纳集合可得$\omega \subseteq \cup \omega$

因此$\omega =\cup \omega$结合序数定义$\omega$即是序数

定理2：任意序数$\alpha$为集合

证明：

显然$0$是集合

0经过后继运算、并运算依然为集合

故任意序数是集合

定理3：任意序数$\alpha$是传递集合

显然0是传递集合

后继运算可看成特殊的并运算$x^{+}=\cup \{x,\{x\}\}$

通过并运算的传递集合依然是传递集合

定义1：∈线序性（∈连接性）是指$\forall x,y\in s(x<y\vee x=y\vee x>y)$，相比于∈三歧性更加宽松，即若有集合满足∈三歧性即满足∈线序性

定理4：于存在极小元原则下，若任意集合$s$满足∈线序性，则满足∈三歧性

证明：

在∈线序性的条件下只需证明最多存在一种关系即可，假设不止一种关系

即$x<y\wedge x=y$或$x>y\wedge x=y$或$x<y\wedge x>y$

或$x<y\wedge x=y\wedge x>y$都明显达成了奇异集合

故可证∈线序性、∈三歧性是等价的

定义2：最大元，若$\forall \alpha \in s\exists \beta \in s(\alpha \le \beta )$则称β为最大元

定义3：最小元，若$\forall \alpha \in s\exists \beta \in s(\alpha \ge \beta )$则称β为最小元

定理5：若$\alpha \in s$为最大元，则$\cup s=\alpha$

定理6：若$\beta \in s$为最小元，则$\cap s=\beta$

其实和程序求解没两样，但是引出了另一个思想：假设第一个变量是最值的思想太绕，换个角度想其实是逐位加进来求解并集/交集，不断将新元素加入已求解的并集/交集，当所有元素加入到并集/交集后即求解了最值

定理7：若序数集合$s$中不存在最大元且$s\ne Ø$，则$\cup s$必定为极限序数（即极限序数是无穷集合）

证明：

序数要么是空集要么后继序数要么极限序数

假设$\cup s$是后继序数

那么$\exists \alpha \to \cup s={\alpha }^{+}$得$\alpha \in \cup s$

$\therefore \forall \beta \in \alpha \in \cup s$

$\therefore \cup s$的最大元为$\alpha$

与条件矛盾，因此不可能为后继序数即必定为极限序数

定理8：任意序数具有∈三歧性

证明：

采用归纳法证明，分成0、后继序数、极限序数去证明

显然0是∈线序性的

假设任意集合$s$是∈线序性的

$\forall \alpha ,\beta \in s(\alpha <\beta \vee \alpha =\beta \vee \alpha >\beta )$

$s^{+}=s\cup \{s\}$

显然有$\forall \gamma \in s(\gamma <s)$

故任意的后续序数是∈线序性的

假设任意非空集合$s$∈线序性的且无最大元的

根据定理7$\cup s$为极限序数

有$\forall x\in \alpha \wedge \alpha \in s$，$\forall y\in \beta \wedge \beta \in s$

且$s$有∈线序性因此$\alpha ,\beta$之间存在关系

那么$x,y$之间业存在关系

故任意序数满足∈线序性

冯诺依曼序数

1925年，冯.诺依曼（Von Neumann）提出了序数定义，与之前对序数的定义不同，它更加简单，具有∈三歧性的传递集合称为冯诺依曼序数。序数具有传递性、∈三歧性即是冯诺伊曼序数，但冯诺伊曼序数是否就是之前的序数？

证明：

设冯诺伊曼序数$x$不是序数

令$s=\{y|y\in x^{+}，y\mathrm{是}\mathrm{冯}\mathrm{诺}\mathrm{依}\mathrm{曼}\mathrm{序}\mathrm{数}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{序}\mathrm{数}\}$

因为$x\in s$得$s\ne Ø$

但根据存在极小元原则

$\exists Min\in s\wedge Min\cap s=Ø$

显然有$Min\ne Ø$

因为$Min$是$s$的元素假定了是冯诺依曼序数而不是序数

根据其∈三歧性得到$\forall y\in Min\exists z\in x(F(y\in z,y=z,z\in y)),F(x,y,z)$表示只能满足其中一个

但是不管根据哪种形式都可以推得$Min$是序数，如满足$y\in z$那么可以得到$Min\in z$，$z$是序数所以$Min$也是序数，因此矛盾

从而证明所谓的冯诺依曼序数就是之前的序数

冯诺依曼序数采用了更简洁的定义，采用形式化的定义

定义公式$On(x):\forall y\forall z(z\in y\wedge y\in x\to z\in x)\wedge \forall y\in x\forall z\in x(y\in z\vee y=z\vee z\in y)$

On公式前半部分为传递性，后半部分为∈线序性

通过这样形式化定义后可以这样定义序数，$x$为集合，若$On(x)\equiv true$则$x$为序数

Burali-Forti悖论(1897)

这个悖论的提出要早于罗素悖论，但远远没有罗素悖论知名

它的内容是局限在了序数这一概念，但如果推广其本质和罗素悖论一样

内容：

(1)令$On=\{x|On(x)\}$，则$On$为真类

(2)$O{n}^{+}\in On,On\in On$

说明：

根据定义上来说只要满足公式的一定是序数，序数的并运算后依然是序数，即On一定是序数（集合），但它却是真类，因此产生了矛盾

证明1：

假设$On$是序数

那么$On(On)$必然成立，即$On$也是$On$的元素

$\therefore On\in On$（参考奇异集合）

因此必定是真类

证明2：

$O{n}^{+}=On\cup \{On\}$

根据定义化简得$O{n}^{+}=\{x|On(x)\}\cup \{On\}=On$

即On及其后继都是等价的，因此必然有$O{n}^{+}\in On$这样的奇怪性质

修正：

一般常用希腊字母$\alpha ,\beta ,\gamma$等表示序数

$\exists \alpha A(\alpha )$表示$\exists x(On(x)\wedge A(x))$

$\forall \alpha A(\alpha )$表示$\forall x(On(x)\to A(x))$（A(x)为任意公式）

罗素悖论采用了子集去导出集合而避免真类，该悖论通过On(x)去导出序数而避免真类

三类序数

在最初序数的定义中，将序数分成了三类：0、后继序数、极限序数

定义1：后继序数，$Succ(\alpha )=\exists \beta \in \alpha (\alpha =\beta \cup \{\beta \})$

定义2：极限序数，$lim(\alpha )=\forall \beta \in \alpha \exists \gamma \in \alpha (\beta \in \gamma )$

定理1：$\omega$是极限序数

目前尚无法证明该定理，但可以先给出公式

$x=\omega \leftarrow \to Fli(x)$

$Fli(x)\leftarrow \to On(x)\wedge lim(x)\wedge x\ne Ø\wedge \forall y\in x(y\ne Ø\to Succ(y))$

定义3：已知序数集合$x\subseteq On$，若$\exists \alpha ,\forall \beta \in x(\beta <\alpha )$则称$\alpha$是s的最小上界（上确界），记作$Sup(s)$。最小上界的准确含义是指所有上界的最小元的集合，同理还有最大下界（下确界，记作$Inf(s)$）

定理2：若$s$是序数集合，具有∈三歧性

证明：

设$\forall \alpha ,\beta \in s$

可构造$\cup \{{\alpha }^{+},{\beta }^{+}\}$且具有∈三歧性

那么$\alpha ,\beta$之间也存在关系

则$s$具有∈三歧性

定理3：已知非空序数集合$x\subseteq On$，则$\cap x$为序数且是$x$的最小序数

证明：

显然$\cap x$是集合，设$x=\{y_1,y_2,...\}$且$y_i$是序数

$\forall \alpha ,\beta \in \cap x$显然有∈三歧性

因为$y_i$是序数，序数下的元素具有∈三歧性

$\forall y,zz\in y\wedge y\in \cap x$

$\to z\in y\wedge \forall u(u\in x\to y\in u)$

$\to \forall u(u\in x\to z\in u)\to z\in \cap x$

依据数理逻辑可推得$\cap x$具有传递性

故$\cap x$是序数，结合最小元的定理即是最小序数

定理4：任意序数$\beta$，不存在序数$\alpha$使得$\beta <\alpha <{\beta }^{+}$

证明：

假设存在$\alpha$使得$\beta <\alpha <{\beta }^{+}$

那么$\beta <\alpha <\beta \cup \{\beta \}$

即$\beta \in \alpha \in \beta \cup \{\beta \}$

其中$\alpha$存在$\beta$元素

设$\alpha =\gamma \cup \{\beta \}$

若要$\gamma \cup \{\beta \}\in \beta \cup \{\beta \}$

显然是不可能的

定义4：对于任意序数α，若$\forall \beta \le \alpha Sec(\beta )=\{\gamma |\gamma <\beta \}$则称是α的β前节

定理5：序数的任意前节为序数

定理6：任意具有传递性的序数集合$s$为序数

定理7：结合定理2、定理6可拓展为，已知集合$x$，$x$为序数当且仅当$x$具有传递性且每一集合具有传递性。这条定理相当有用，直接证明∈三歧性是相对比较困难的，可以化简为只证明容易证明的传递性

定理8：上述定理7可形式化为

$Or(x):\forall y\forall z\forall t(t\in z\wedge z\in y\wedge y\in x)\to (z\in x\wedge t\in z\wedge y\in x)\to (t\in x\wedge y\in x)$

且$Or(x)$与$On(x)$等价

证明：

$Or(x)$可拆分两个条件其中之一是集合本身有传递性

这点与$On(x)$的一部分相吻合

即证$\forall y\in x\forall z\in x(y\in z\vee y=z\vee z\in y)$

因为传递性有$\forall y\in x(y\subseteq x)$，$\forall y\in x\forall z\in y(z\subseteq y)$

$(y\in x\to y\subseteq x)\wedge z\in y$可得$z\in x$

即$z$是传递的满足$Or(y)$

另外一种角度$Or(x)\wedge z\in y\wedge y\in x\to z\in x$

即证了$y\in x\wedge Or(x)\to Or(y)$（1）

这里对∈三歧性作简化处理

令$B(x,y)=x<y\vee x=y\vee x>y$

当证明$\forall u,t\in xB(u,t)$时即证是序数

利用反证设$\exists u\in x\exists t\in x￢B(u,t)$

已知$A=\{u|u\in x\wedge \exists t\in x￢B(u,t)\}$

则存在极小元$Min=\{t|t\in x\wedge ￢B(y,t)\}$

那么$Min$也存在极小元设为$z$

$\forall u\in z$且根据(1)处的结论得$Or(u)$

即存在$B(y,u)$得推得存在$B(y,u)$矛盾

定义5：序数当且仅当$Or(x)$

定理9：任意序数$\alpha ,\beta$有$(1)\alpha <\beta \leftarrow \to \alpha {\subseteq }_{+}\beta$，$(2)\alpha \le \beta \leftarrow \to \alpha \subseteq \beta$

（备注，${\subseteq }_{+}$表示真包含）

定理10：已知序数集合$s$，若$\alpha$是$s$的最大元，则$\cup s=\alpha$

证明：

$\forall x\in \alpha$且$\alpha \in s$得$x\in \cup s$，因此$\alpha \subseteq \cup s$

$\forall x\in \cup s$有$\exists \beta (x\in \beta \wedge \beta \in s)$，且有$\beta \in \alpha$

因为$\alpha$有传递性，即$x\in \alpha$得$\cup s\subseteq \alpha$

因此$\cup s=\alpha$

定理11：$Sup(x)=\{\begin{array}{l}\cup x,x\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{元}\\ \{\cup x{\}}^{+},x\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{元}\end{array}$

证明：

若序数集合$x$存在最大元

结合定理3显然$\{\cup x{\}}^{+}$是最小上界

若序数集合$x$不存在最大元

设$\alpha$为最小上界，满足$\forall \beta \in x(\beta <\alpha )$即$\alpha =\cup x$

定理12：序数$\alpha$为自然数，当且仅当$\alpha$任意非空子集有最大元

充分性证明：

已知自然数$\alpha =\{\alpha -1,\alpha -2,...,0\}$

显然任意的非空子集有最大元

必要性证明：

证明其逆反命题“序数$\alpha$不为自然数，则$\alpha$存在子集没有最大元”

若不为自然数即$\omega \le \alpha$

则子集$\omega$没有最大元成立

超穷归纳法

归纳法的思想最早可追溯在印度、古希腊时代，如欧几里得证明素数有无穷多个。现代形式的数学归纳法按目前资料可追溯于莱维·本·热尔松（Levi ben Gerson）1321年的《计算技术》，而更早的伊斯兰数学中也可窥见归纳推理思想。十七世纪后发展出了最小数原理、第一第二数学归纳法、反向归纳法等，由于分析算术化的需要建立在自然数之上，C.Peano提出了自然数公理系统，归纳法也建立之上。超穷归纳法则是对数学归纳法的拓展，适用于离散的情况，而连续情况的连续归纳法成为了微积分的基础，但此系列文章并不会介绍连续归纳法。

最小序数存在定理：若有任意公式$A(x)$存在序数使得公式成立，则存在最小序数$\alpha$使得$A(\alpha )$成立

定理2：已知$C\subseteq On\wedge C\ne Ø$，则有最小序数$\alpha \in C$（由于$C$是序数类有序数属于$C$性质利用最小序数存在定理可得）

证明：

因为$\exists \alpha A(\alpha )$，假设${\alpha }_{0}A({\alpha }_0)$成立

$s=\{\alpha |\alpha \in {\alpha }_0^{+}\wedge A(\alpha )\}$

那么$\cap s$即为所求最小序数

超穷归纳法：

对于任意性质$A(x)$

(1)$A(0)\wedge \forall \alpha (A(\alpha )\to A({\alpha }^{+}))\wedge \forall \alpha (lim(\alpha )\wedge \forall \beta \in \alpha A(\beta ))$

(2)$\forall \alpha (\forall \beta \in \alpha A(\beta )\to A(\alpha ))\to \forall \alpha A(\alpha )$

这两种形式是等价的，第一种即0、后继序数、极限序数分别去判断是否满足，在之前一些命题中也采用了超穷归纳法。相比于数学归纳法而言除了概念上的翻新外仅仅加了极限序数的情况。首先是判断0是否满足，其次假设后继序数$\alpha$满足去判断后继序数${\alpha }^{+}$是否满足，最后判断极限序数的情况所有元素是否满足。

第二种，若任意序数$\alpha$以及任意序数$\beta <\alpha$都有$A(\beta )$能推得$A(\alpha )$即任意序数都能成立

证明：

（后继序数、0换成极限序数的形式）可证(1)等价于(2)

这里仅证(2)形式

反证法，假设$\forall \alpha ￢A(\alpha )$

根据最小序数存在定理可得最小元$\exists Min￢A(Min)$

当$\forall \beta <Min$时$A(\beta )$成立却能得到$A(Min)$成立

故矛盾可证明超穷归纳法

定理3：若$C\subseteq On$，则$\forall \alpha (\alpha \subseteq C\to \alpha \in C)\to C=On$

该定理为超穷归纳法的另一种等价形式。$\exists \alpha (\alpha \in C\wedge A(\alpha ))$会表示为$\exists \alpha \in CA(\alpha )$，$\forall \alpha (\alpha \in C\wedge A(\alpha ))$会表示为$\forall \alpha \in CA(\alpha )$。其中$C=\{\alpha |C(\alpha )\}$是公式同名形式$\alpha \in C$即表示$C(\alpha )$，此定理另外一种形式即$\forall \alpha (\alpha \subseteq C\to C(\alpha ))\to C=On$即任意类若满足公式可推得C就是On即任意序数满足公式C

序数算术

序数也可进行运算，且通过运算可以得到更大的序数，运算一般是通过对三类序数的定义通过超穷归纳法得到通用定义的，对于如何超穷归纳法证明定理，这里仅展示加法的情况

序数加法定义

■$\alpha +0=\alpha$

■$\alpha +{\beta }^{+}=(\alpha +\beta {)}^{+}$

■$\alpha +\gamma =\cup \{\alpha +\beta |\beta ＜\gamma \},lim(\gamma )\equiv true$

定理1：$\alpha +\beta =\alpha \cup \{a+\gamma |\gamma <\beta \}$

证明：

对β超穷归纳即可

当$\beta =0$时显然成立

当${\beta }^{+}$时

利用定理2$\alpha +{\beta }^{+}=\alpha \cup \cup \{(\alpha +\gamma {)}^{+}|\gamma <{\beta }^{+}\}$

$=\alpha \cup \cup \{(\alpha +\gamma {)}^{+}|\gamma <\beta \}\cup (\alpha +\beta {)}^{+}$

$=(\alpha +\beta {)}^{+}$成立

当$lim(\beta )$时显然成立

定理2：$\alpha \cup \{\alpha +\gamma |\gamma <\beta \}=\alpha \cup \cup \{(\alpha +\gamma {)}^{+}|\gamma <{\beta }^{+}\}$

定义2：若$\alpha +\beta =\beta$则称$\beta$吸收了$\alpha$（如$1+\omega =\omega$）

定义3：已知二元运算$\tau$，若$\tau (x,y)=\tau (y,x)$则称该运算具有交换性

定理3：显然序数加法是不交换的，如$1+\omega =\omega ,\omega +1=\omega +1$

定义4：已知二元运算$\tau$，若$x<y,\forall z$有$\tau (x,z)<\tau (y,z)$则称该运算具有左递增性

定理4：显然序数加法是不左递增的，如$1+\omega =2+\omega$

定理5：$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$（结合律）

定理6：$\alpha +\beta =\alpha +\gamma \leftarrow \to \beta =\gamma$

定理7：$\alpha +\beta <\alpha +\gamma \leftarrow \to \beta <\gamma$

定理8：$\alpha <\beta \to \alpha +\gamma \le \beta +\gamma$

定理9：$\alpha +\gamma <\beta +\gamma \to \alpha <\beta$

序数乘法定义：

■$\alpha \times 0=0$

■$\alpha \times {\beta }^{+}=(\alpha \times \beta )+\alpha$

■$\alpha \times \gamma ={\cup }_{\beta <\gamma }(\alpha \times \beta ),lim(\gamma )\equiv true$

定理10：$\alpha \times \beta =\{\alpha \times \gamma +\theta |\gamma ＜\beta \wedge \theta <\alpha \}$

定理11：$\cup \{\alpha \times \gamma +\alpha |\gamma <\beta \}=\{\alpha \times \gamma +\theta |\gamma ＜\beta \wedge \theta <\alpha \}$

定理12：$\alpha \times \beta =\beta \times \alpha$（交换律）

定理13：$\alpha \times \beta <\alpha \times \gamma \leftarrow \to \beta <\gamma \wedge \alpha \ne 0$

定理14：$(\alpha \times \beta )\times \gamma =\alpha \times (\beta \times \gamma )$（结合律）

定理15：$\alpha \times \beta =\alpha \times \gamma \to \beta =\gamma \vee \alpha =0$

定理16：$\alpha <\beta \to \alpha \times \gamma \le \beta \times \gamma$

定理17：$\alpha \times \gamma <\beta \times \gamma \to \alpha <\beta$（左递增性）

序数幂乘定义：

■${\alpha }^0=1$

■${\alpha }^{{\beta }^{+}}={\alpha }^{\beta }\times \alpha$

■${\alpha }^{\gamma }={\cup }_{}$

定理18：${\alpha }^{\beta }=1\cup \{a^{\gamma }\times \theta +\lambda |\gamma <\beta \wedge \theta <\alpha \wedge \lambda <a^{\gamma }\}$

定理19：$1\cup \cup \{a^{\gamma }\times \alpha |\gamma <\beta \}=1\cup \{a^{\gamma }\times \theta +\lambda |\gamma <\beta \wedge \theta <\alpha \wedge \lambda$

依据序数算术可以将无穷集合推广至更大的无穷，$\omega +n$，$n\omega$，${\omega }^n$，${\omega }^{\omega }$，${\omega }^{\omega }={\omega }^{n^{n^{...}}}$，${\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{...}}}$...可以构造无穷多无穷大的序数

良序关系

定义1：已知集合$s$和其上的关系$R$，若$\forall x,y\in s$(1)$xRy$；(2)$x=y$；(3)$yRx$中恰有一成立则称具有R三歧性

定义2：已知集合$s$和其上的关系$R$，若$\forall x,y,z\in s$有$xRy\wedge yRz\to xRz$则称具有R传递性

定义3：已知集合$s$和其上的关系$R$，若具有R三歧性、R传递性，则称R是全序关系（或线序关系）

定义4：已知集合$s$和其上的全序关系$R$，若对于任意非空子集$u$有$\exists x\in u\wedge \forall y\in u(y\mathrm{R̸}x)$则称该关系为良序关系

该性质实质上就是最小元，任意子集都有最小元$x$且有R三歧性、R传递性就称为有良序性（若尝试用图论表述即线性的，常用于表述次序关系）

如$s=\{0,2,4,6,8...\}$显然在偶数关系上是良序关系，数列、级数等都可以看成是一种良序关系

定义5：已知集合$s$和其上的良序关系$R$可记作$<s,R>$且称为良序结构，而$s$称为良序集合

定义6：已知集合$s$，若存在良序关系，则称为是可良序的

定理1：已知良序集合$s$，显然任意子集都是良序集合

定义7：已知任意良序集合$s_1,s_2$，假设良序关系分别是$R_1,R_2$，以及函数$f:s_1\to s_2$，若$\forall x,y\in s_1$有$x{R}_{1}y\to f(x)R_{2}f(y)$，则称该函数具有保序性

良序由于是次序关系，可以理解保序性是某一类集合需要映射后为了维持原本的次序关系的性质，如已知次序1,2,3,4,5（假设良序关系$x<y$）经过乘二映射后依然保持次序为2,4,6,8,10（假设良序关系$x<y+1$）

定义8：已知良序结构$<s,R>$，对于$\forall x\in s{O}_R(x)=\{y|y\in s\wedge yRx\}$称为是该良序关系的x前节（即部分良序集合）

定义9：已知具有保序性的双射$f$，若是从良序集合映射至另一良序集合的某一前节，则称为是好的映射

定义10：已知良序集合$s$，$\forall T\subseteq s$，则$SupT$为$s-T$的首元素。特别地，$SupØ$是$s$的首元素（备注，虽然符号与最小上界一致，但就良序集合的范畴内表示首元素）

定义11：显然有$Sups\notin s$，则$s^{\prime }=s\cup Sups$（$\forall x\in s(x<Sups)$）称为是良序延拓，即拓展下个满足良序关系的序数。例如0,2,4,6的集合就偶数关系上的良序延拓为0,2,4,6,8（由于已声明良序集合，在不引起误解的情况下，这里以及下面内容的"<"表示某一良序关系R）

定理2：已知良序集合$s,u$，则存在唯一的好的映射$f:s\to u,ranf=\{x|x\in u\wedge x<y\}$和存在唯一的好的映射$g:u\to s,rang=\{x|x\in s\wedge x<y\}$

证明：

(1)若$f$是好的映射

根据保序性有$y<x\to f(y)<f(x)$

令$t=Sup\{f(y)|y<x\}$

而$\{f(y)|y\}$可看成$ranf$的$f(x)$的前节

因此$t$即是该前节的良序延拓的下一元素即$f(x)$

因此$f(x)=Sup\{f(y)|y<x\}$

则$ranf=\{x|x\in u\wedge x<y\}$

(2)已知良序集合$s,u$

假设存在两个好的映射$f,h$且$\exists x(f(x)\ne h(x))$

令$c=\{x|f(x)\ne h(x)\wedge x\in s\}$

即映射后不相等的象集

若证明了$c=Ø$

即证$f=h$良序集合间最多有一个好的映射

假设$c\ne Ø$

即$\exists \alpha \in c\to f(\alpha )\ne h(\alpha )$

然而$\forall x\in s(x<\alpha \to f(x)=h(x))$

却导出了$f(\alpha )=h(\alpha )$

因此$c=Ø$

(3)已知好的映射$f:s\to u$

令$\exists x_0\in s,B=\{y|y<x_0\wedge y\in s\}$为某一前节

令$h=f\upharpoonright B$（即$s$的前节到$u$的映射）

已知$f$是好的映射，那么$h$也具有保序、双射的性质

倘若证明是到$u$的某一前节即证$h$是好的映射

$\forall z\in u,\exists x\in B,z<h(x)$

根据$h$保序性可证$\exists yh(y)=z$

那么$h(x)$为$u$的前节可证$h$是好的映射

(4)令$B_x=\{y|y<x\wedge y\in s\}$为$s$的$x$前节

令$c=\{x|x\in s\wedge \exists \mathrm{好}\mathrm{的}\mathrm{映}\mathrm{射}g:B_x\to u\}$

$\forall x\in s$，若$x\in c$有$y<x$且$f:B_x\to u$为好的映射

$\exists z\in c$，定义$h=f\upharpoonright B_z$

因为$h$是好的映射

则$c$为前节

(5)$\exists x\in c$令$f_z:B_x\to u$为唯一的好的映射

当$z\le x\le y$时有$f_x(z)=f_y(z)$

$\forall x\in c$有$f(x)=f_x(x)$

若$\exists x,y\in c\wedge x<y$

则$(f(x)=f_x(x))<(f(y)=f_y(y))$

即$f$是保序的

若$x\in c,t<f(x)$

则$t<f_x(x),\exists y<x\wedge t=f_x(y)=f_y(y)=f(y)$

即$f$是好的映射

(6)若$c=s$则证得该定理

可用反证法证得

定理3：已知$f:s\to u,g:u\to s$是好的映射，则$ranf=u,rang=s$且$f=g^{-1}$

证明：

令$C=ranf$且$C\subseteq u$

令$h=g\upharpoonright C$根据上一定理的证明中的结论

可得$h$为好的映射

因此$ranh=\{x|x\in s\wedge x<y\}=rang$

即$C=u$，则$ranf=u$

$rang=s$

因为双射的性质,$f=g^{-1}$

定义12：已知良序结构$<s_1,R_1>,<s_2,R_2>$且有好的映射$f:s_1\to s_2,s_2=ranf$，则称$f$是同构映射，称$s_1,s_2$是同构的，记作$ISO(s_1,s_2,R_1,R_2)$（好的映射与同构映射差别在值域上，即同构映射必须要求所有元素都被映射到，而好的映射并不需要）

定理4：若$f:s\to u$是同构映射，显然$f^{-1}:u\to s$也是同构映射

定理5：对于任意良序结构$<s,R>$，都存在唯一的序数$\alpha$使得$ISO(s,\alpha ,R,\in )$即任意的良序关系都可以转换为序数的属于关系

证明：

定义$f:s\to \alpha$且$f(x)=Sup\{f(y)|y<x\wedge y\in s\}$

令$\alpha =ranf$

当$min\in s$作为首元素时有$f(min)=0$

以此类推，$f(min+1)=1...f(min+n)=n$

可用超穷归纳法证明$f(x)$是序数

则$\alpha$也为序数（$\alpha$是集合可用替换原则证明）

根据函数定义，显然有保序性

好的映射具备唯一性

因此可证任意良序集合都有序数同构

（即任何次序都可转变为序数的次序）

康托尔曾定义序数是良序集合的序型。依据定理5定理4，任何良序集合之间都有可能同构但同样地都可以用一个序数代表。即序数代表了一类良序集合

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总结

从自然数引出了无穷集合后基于传递性、三歧性引出了更广的序数，且依据序数的特性从悖论、序数集合、超穷归纳法、序数算术引出了一些基本性质，最后引入了重要的良序概念

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参考资料

[1]《公理集合论导引》张锦文

[2] 数学归纳法的发展历程，冯进