公理集合论（一）：集合

请读者具备离散数学的基础

2023,01,25：简化部分描述

2023,05,17：删除部分错误观点

2023,07,10：大幅修改内容，本篇文章将不会再作改动

---

---

一、集合与类

朴素集合

外延原则：集合是由元素所决定的

元素常用$a,b,c...$小写字母表示，集合常用$A,B,C...$大写字母表示

其中元素要满足确定性、相异性（参考高中课本）

那么可以有属于或不属于关系，如$3\in N,\pi \notin N$

这里先引入Cantor意义上存在悖论的概括原则

概括原则：$S=\{x|p(x)\}$表示集合是由满足$p(x)$性质的元素所组成的

如$A=\{x|x+1<0,x\in N\}$

罗素悖论与类

罗素悖论：$T=\{x|x\notin x\}$

来思考这个集合，会发现相矛盾的点

如果x是T的元素，那么就要满足x不是T的元素

如果x不是T的元素，那么根据其性质就是T的元素

可以发现不管怎样都是存在这样的矛盾，从命题逻辑来看就是$A\leftarrow \to ￢A,A:x\in x$这样的矛盾式

罗素提倡用新的概念——类去解决悖论

$\mathrm{类}\{\begin{array}{l}\mathrm{集}\mathrm{合}:\mathrm{可}\mathrm{作}\mathrm{为}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{去}\mathrm{属}\mathrm{于}\mathrm{集}\mathrm{合}\\ \mathrm{真}\mathrm{类}:\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{作}\mathrm{为}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{去}\mathrm{属}\mathrm{于}\mathrm{集}\mathrm{合},\mathrm{也}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{为}\mathrm{类}\mathrm{的}\mathrm{元}\mathrm{素}\end{array}$

外延原则适用于集合、类，因为本质上集合的基础规范是属于关系，而拓展至类即消解属于关系

但概括原则有些不同，需要修改

回到罗素悖论，正是因为$x\notin x$是决定了真类而非集合，导致了悖论的发生

朴素集合的两个原则将被以下原则替代

空集合的存在原则

存在着空类$Ø=\{x|x\ne x\}$

解释：空集作为最基础的集合，甚至可以说任意集合都由空集构造的

对集合的存在原则

对于任意集合$x,y$，存在集合$S=\{x,y\}$，称作无序对集合

如果$x=y$则集合$S=\{x\}$称为单元集合

解释：构造集合的原则，即任意集合都是套括号得到的

有序对集合

$\{a,b\}$中$a,b$的位置是无序性的，但可构造有序性的集合

定义1：对于任意的集合$a,b$将$\{\{a\},\{a,b\}\}$称为有序对集合简记为$<a,b>$

定理1：$<a,b>=<u,v>$当且仅当$a=u,b=v$

如$<1,2>=\{\{1\},\{1,2\}\}\ne <2,1>=\{\{2\},\{1,2\}\}$

幂集的存在原则

定义2：有任意集合$S_1,S_2$,若满足$\forall x(x\in S_1\to x\in S_2)$，则称$S_1$是$S_2$的子集，或称$S_2$是$S_1$的超集，记作$S_1\subseteq S_2$，否则记作 $S_1⊈S_2$

定理2：$\forall x(Ø\subseteq x)$

定理3：$\forall x(x\subseteq x)$

定理4：传递性，$\forall S_1,S_2(S_1\subseteq S_2\wedge S_2\subseteq S_3\to S_1\subseteq S_3)$

原则：给定任意集合$S$一定存在幂集，其所有的子集构成的集合称为幂集，记作$𝓟(S)=\{x|x\subseteq S\}$

解释：构造集合的运算之一

定理5：若集合$S$有$n$个元素，则$P(S)$有$2^n$个元素

这一点可以利用组合学的观点来证明

并集合的存在原则

原则：给定任意集合$S$一定存在并集合，其中所有元素构成的集合称为并集合，记作$\cup S=\{x|\exists y(x\in y\wedge y\in S)\}$

解释：构造集合的运算之一

如$S=\{\{1,2\},2,3,4,\{5,Ø\}\}$，$\cup S=\{Ø,1,2,3,4,5\}$

定理6：$\cup 𝓟(S)=S$

高中所学一类运算实则是并集合的特殊情况，如

$A\cup B=\cup \{A,B\}$

子集的分离原则

根据概括原则，假设有一类$C=\{x|p(x)\}$

这时候虽然不确定其成分，但可以构造一集合$S$满足$C\subseteq S$（备注：真类不可作为元素，因此包含只针对集合部分）

那么可以有$C\cap S=\{x|x\in C\wedge x\in S\}$这样子就能得到集合而避免取到真类

原则：给定性质$p(x)$，集合$S$，则存在集合$S^{\prime }=\{x|p(x)\wedge x\in S\}$

解释：通过此原则，有时也作为证明类是集合的方法，同时罗素悖论也能解决$S^{\prime }=\{x|\exists S,C\subseteq S,x\notin x\wedge x\in S\}=Ø$

定义3：集合全体$V=\{x|x=x\}$与空集截然相反的$V$是没有任何约束性的类，因为存在$V\in V$，但如果采用分离原则就可以得到集合$V^{\prime }=\{x\notin x\wedge x=x\}$

集合运算

备注：等号左侧变元全为集合

交运算：$S_1\cap S_2=\{x|x\in S_1\wedge x\in S_2\}$

广义交：$\cap S=\{x|\forall y(y\in S\to x\in y)\}$

相对补：$S_1-S_2=\{x|x\in S_1\wedge x\notin S_2\}$

笛卡尔积：$S_1\times S_2=\{<x,y>|x\in S_1\wedge y\in S_2\}$

定理7：以上集合运算得出的类必然都是集合（可用子集分离原则证明），类运算得出的也必然是类

关系

为方便描述，将$\forall x(x\in y\to A(x))$简写成$\forall x\in yA(x)$

将$\exists x(x\in y\wedge A(x))$简写成$\exists x\in yA(x)$

定义4：类关系$R$满足条件$\forall x\in R\exists y_1\exists y_2(x=<y_1,y_2>)$

定理8：存在类$C_1,C_2$，类关系$R\subseteq C_1\times C_2$，可以将定义简化为类笛卡尔积的子集

定义5：定义域，$domR=\{x|\exists y(<x,y>\in R)\}$

定义6：值域，$ranR=\{y|\exists x(<x,y>\in R)\}$

定义7：域，$fldR=\cup \{domR,ranR\}$

定理9：若$<x,y>\in R$，则$x,y\in \cup \cup R$

定理10：$domR,ranR,fldR$都是集合

定理11：$fldR=\cup \cup R$

定义8：常常将$<x,y>\in R$简记为$xRy$或$R(x,y)$，将$<x,y>\notin R$简记为$x\mathrm{R̸}y$或$\mathrm{R̸}(x,y)$

定义9：关系复合运算，$R1。R2=\{<x,y>|\exists z(xR2z\wedge zR1y)\}$

定理12：结合律，$(R1。R2)。R3=R1。(R2。R3)$

定义10：关系逆运算，$R^{-1}=\{<y,x>|xRy\}$

定理13：$dom{R}^{-1}=ranR$

$ran{R}^{-1}=domR$

$(R^{-1}{)}^{-1}=R$

$(R1。R2{)}^{-1}=R{2}^{-1}。R{1}^{-1}$

定义11：限制运算，$R\upharpoonright C=\{<x,y>|xRy\wedge x\in C\}$

象，已知关系R和类C，象$R[C]=\{y|\exists x\in CxRy\}$

限制运算是限制x的定义域在C中有什么有序对，象是根据限制运算限制后的有序对得到其x是定义域的子集

即已知关系R和类C有$\cup \{R[C],C\}=\cup \cup R\upharpoonright C$

显然上述新定义的运算在集合关系、类关系上也具有封闭性

函数

函数是特殊的类关系

定义12：满足单值性$\forall x\forall y1\forall y2(xRy1\wedge xRy2\to y1=y2)$的类关系$R$称为类函数（所谓单值性就是同一x值只能对应唯一的y值）

常用$f(x)=y$表示，用$f$表示函数（关系）

函数的某一点用有序对表示$<x,f(x)>\in f$

函数简记为$f:C_1\to C_2$（即$f\subseteq C_1\times C_2$且满足单值性），其中$domf=C_1,ranf\subseteq C_2$

严格意义来说，$domf\ne C_1$是有可能的，但狭义上的函数一般默认了$domf=C_1$这种情况（结合单值性即满足性质$\forall x\in C_1\exists !y(xRy)$），而$ranf$一般认为是有可能不等于$C_2$的，此时$C_2$称作上域

备注：一阶逻辑中$\exists !$是指存在唯一，$\exists !P(x)$可扩写为$\exists y\forall x(P(x)\leftarrow \to x=y)$

函数性质

结构上对一些函数提出了一些特殊性质

定义13：满射，若$C2=ranf$，则称该类函数是满射的。或用$\forall y\exists xf(x)=y$表述

定义14：单射（内射），若类函数满足$\forall x\in C1\forall y\in C1(x\ne y\to f(x)\ne f(y))$即不仅从x到y只有唯一的y对应，从y到x也只有唯一的x对应

定义15：双射，如果类函数同时是满射、单射，则称为类函数是双射的

定理14：类函数的逆至少要满足原函数是单射的，因为逆运算交换值域定义域后其也要满足单值性的要求。对于单射的类函数来说，其逆函数的定义域为$ranf$

逆运算交换了定义域和值域看上去不需要写明这条性质，但稍有区别

假设有一类函数$f:C1\to C2,domf=C1,ranf\subseteq C2$

那么此时$f^{-1}:ranf\to C1,dom{f}^{-1}=ranf,ran{f}^{-1}=C1$

关键在于交换后，原本的值域会从$C2$约束到$ranf$

因为上域被约束不会满足性质$(f^{-1}{)}^{-1}=f$

$(f^{-1}{)}^{-1}:C1\to ranf,dom(f^{-1}{)}^{-1}=domf,ran(f^{-1}{)}^{-1}=ranf$

因此有些教材会说逆函数存在的充要条件就是函数必须是双射的，但实际上不用满足满射也是可以的，但这样会损失这样的性质

定理15：如果类函数是双射的，那么逆函数也是双射的且满足$(f^{-1}{)}^{-1}=f$

定理16：若类函数是单射的，则$x\in domf,f^{-1}(f(x))=x$；若$y\in ranf,f(f^{-1}(y))=y$

定理17 ：已知类函数$f:C1\to C2,g:C{2}^{\prime }\to C3$（$C{2}^{\prime }\subseteq C2$）

$f。g:C1\to C3,dom(f。g)=\{x|x\in domg\wedge g(x)\in domf\}$

定理18：类函数是双射的，则其逆函数也是双射的

定理19：将定理17的$g$改写为$f^{-1}$即可得到$dom(f。f^{-1})=domf$；$(f。f^{-1})(x)=x$

定义16：恒等函数，根据上一定理得到的称作恒等函数一般记作

$I_c:C\to C,I_c(x)=x$

定义17：若$g。f=I_c$，则$f,g$互逆，其中$g$在左侧称为$f$的左逆，$f$称为$g$的右逆，其中要满足$f\ne Ø,g\ne Ø$

定理20：已知类函数$F\ne Ø$，存在左逆当且仅当$F$为单射

证明：

对于存在性问题一般证明方法为反证

即假设有一恒等函数$I_C:C\to C$

有左逆使得$g。f=I_C$

显然$f$为空集是不成立的

若$f$不为单射，即$\exists x\exists y(x\ne y\wedge f(x)=f(y))$

显然$g$不能为函数除非是关系

因此可证

单值化原则

单值化原则：对于任意的类关系$R$，存在类函数$G$使得$G\subseteq R$且$domG=domR$

定理21：已知类函数$F\ne Ø$，存在右逆当且仅当$F$为满射

充分性证明：

条件：存在右逆$G$，满足$F。G=I_c$

要证明满射即证明$ranF=C$

假设$G:C_1\to C_2,F:C_{2^{\prime }}\to C_1$

因为是恒等函数，得$\forall x,x=F(G(x))$，即$x\in C_1\to x\in ranF$即$C_1\subseteq ranF$

$ranF\subseteq C$是作为函数本身具有的性质

因为得$ranF=C$

替换原则

定理22：$R$为类关系，若$domR,ranR$为集合，则$R$为集合关系

原则：若$F$为类函数，$S$为集合，则$ran(F\upharpoonright S)$为集合

定理23：交并补运算于类上具有封闭性

定理24：$(1)\cap Ø=V(2)\cap V=Ø$

定理25：$S_1\subseteq S_2\to \cap S_2\subseteq \cap S_1$

定理25阐释了交运算的特征即集合越小交运算后反而是越大的，对于定理24中对空集交实质上是有争议的。如果仅停留在集合视角实际上无法解释$\cap Ø$为什么，但如果在类视角下就能解释其无规定性恰好为$V$

定理26：集合对于交补笛卡尔积运算是封闭性的，如果上升到类其中并交补笛卡尔积是封闭性的，但是对于无序对、幂运算并不是封闭的（如$\{V\}$）

存在极小元原则

定义18：极小元，已知$S\ne Ø$，$\exists x\in S(S\cap x=Ø)$则称$x$为$S$的极小元

备注，值得注意的是这里以及下面所说的概念虽然名字同图论一样，但这里是关于集合最本质的“∈”关系而非图论任意“R”关系的定义。极小元开始包括之后内容，基本是围绕集合的属于关系、集合运算或是更抽象的角度做的一些性质上的探索。

原则：任意非空集合存在极小元

解释：极小元的性质表明了元素本身作为集合与集合的关系，即集合内有集合与其本身没有共同部分。这也常常作为证明类为集合的反证方法

不存在奇异集合

奇异集合是非常特殊的一个集合，有元素$x_0,x_1,...$，满足下面之中的某一性质：

(1)$x\in x$

(2)$x\in y,y\in x$

(3)推广：$x_0\in x_1\wedge x_1\in x_2...\wedge x_{n-1}\in x_n\wedge x_n\in x_0$

(4)降链：$...\wedge x_{n+1}\in x_n\wedge x_n\in x_{n-1}...\wedge x_1\in x_0$

即奇异集合在有限的情况下，各个元素互相挨个属于形成闭环；在无限的情况下形成降链，无穷远的元素不断属于前面一个直到$x_0$

利用存在极小元原则反证即可

证明(1)：假设集合满足性质$x\in x$，$\because x\cap x\ne Ø$，因此不存在极小元，但根据存在极小元原则，至少要有极小元因此矛盾，不存在集合满足$x\in x$

证明(3)：假设集合$A$满足性质$x_0\in x_1\wedge x_1\in x_2...\wedge x_{n-1}\in x_n\wedge x_n\in x_0$

$\because \forall i\exists j,x_i\in x_j$

$\therefore \forall iA\cap x_i\ne Ø$

同理也可以证明降链的情况，因此不存在满足这一性质的奇异集合

---

参考书籍

《公理集合论导引》张锦文