求逆序对（inversion）的个数

2-4 逆序对

      设A[1...n]是一个包含n个不同数的数组，如果在i<j的情况下，有A[i]>A[j]，则(i,j)就称为A中的一个逆序对（inversion）。

       a)列出数组<2, 3, 8, 6, 1>的5个逆序对

       b)如果数组的元素取自集合{1,2,...,n}, 那么， 怎样的数组含有最多的逆序对？它包含多少个逆序对？

       c)插入排序的运行时间与输入数组中逆序对的数量之间有怎样的关系？说明你的理由。

       d)给出一个算法，它能用Θ(nlgn)的最坏情况运行时间，确定n个元素的任何排列中逆序对的个数。（提示：修改合并排序)

分析与解答：

      蛮力法：对于数组A[1...n]，如果要确定所有的逆序对，只需要遍历一次数组，对于以A[j]结尾的逆序只需要遍历所有1<= i <=j

若满足A[i] > a[j]，则说明(i,j)是一个逆序对，否则不是。这是一种非常朴素的方法，整个算法的时间复杂度为Θ(n*n)

 

a)  采用类似上面的方法，以6结尾逆序对有(1,4),以1结尾的逆序对有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)，总共为5个

b)  当整个数组完全逆序时，含有最多的逆序对，即A={n,...,2,1}，这时

   以n-1结尾的逆序对有1个，以n-2结尾的逆序对有2个，以此类推，以1结尾的逆序对有n-1个。

   总共(n-1)+(n-2)+...1 = n(n-1)/2

c)  插入排序的运行时间与插入排序时的总的比较次数相关，而总共的比较次数与总的逆序对的个数相同。因此两者成正比

在插入排序的过程中，插入A[j]需要比较的次数和已排序的A[1...j-1]中比A[j]大的元素个数相同，这等价于逆序对的个数。

d)  合并排序是采用分治法的思想，若需要排序A[p...q]，则可以对半分成A[p...r]和A[r...q]，然后将这有序的两部分Merge。

    而Merge的过程为Θ(n)的时间复杂度

   根据主定率T(n)=2(Tn/2)+Θ(n)，时间复杂度为T(n)=Θ(nlgn)。

   而求整个序列中的逆序对，也可以利用分治法的思想，即

   逆序对(A[p...q]）= 逆序对(A[p...r])+逆序对(A[r...q])+逆序对(A[p...r], A[r...q]之间的）

   结合合并排序，关键是求如何在Θ(n)的时间有效的求出A[p...r], A[r...q]之间的逆序对

   因为在合并排序的Merge过程中，A[p...r]和A[r...q]已经有序，假设此时已经Merge到A[s...r]和A[t...q]。考虑接下来的一步：若从前者取出A[s],说明A[s]比后面的序列A[t...q]中的元素都小，不存在逆序对；若从后者取出A[t]，则说明A[t]比前面的序列A[s...r]都小，即以t结尾的逆序对的数量为前者的剩余序列A[s...r]中元素的数量

   Merge的过程中即可得到A[p...r], A[r...q]之间的逆序对的数量，时间复杂度亦为Θ(n), 由主定律总的时间复杂为 Θ(nlgn)，这种方法要比朴素的方法 Θ(n*n)好很多。

//求逆序对个数（使用归并排序）
//2014年8月7日 BUAA Rena

int inversion(int* A,int p,int q)
{
   int sum=0;       
   int mid=(p+q)/2;
   if (p==q)   //这个是终止条件，容易忽略
   {
       return 0;
   }
      
   sum+=inversion(A,p,mid);
   sum+=inversion(A,mid+1,q);

   // 合并思想：用两个临时空间来存储A的两个子序列，然后在求解的过程中排好序再赋值给A
   int m=mid-p+1;
   int n=q-mid;
   int *B=(int*)malloc(sizeof(int)*m);
   int *C=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
   int i,j;
   for(i=0;i<m+n;i++)
   {
       if(i<m)
       {
           B[i]=A[i+p];
       }
       else
       {
           C[i-m]=A[i+p];
       }
   }

   i=j=0; 
   int k=p;
   while(i<m&&j<n)
   {
       if(B[i]<=C[j])
            A[k++]=B[i++];
       else
       {
           sum+=m-i;
           A[k++]=C[j++];
       }
   }
   if(i==m)
   {
       while(j<n)
           A[k++]=C[j++];
   }
   else
   {
       if(j==n)
       {
           while(i<m)
               A[k++]=B[i++];
       }
   }
   return sum;
}