PCA算法
本文出处:http://blog.csdn.net/xizhibei
http://www.cnblogs.com/bourneli/p/3624073.html
PrincipalComponents Analysis,主成份分析
寻找最小均方意义下,最能代表原始数据的投影方法
然后自己的说法就是:主要用于特征的降维
另外,这个算法也有一个经典的应用:人脸识别。这里稍微扯一下,无非是把处理好的人脸图片的每一行凑一起作为特征向量,然后用PAC算法降维搞定之。
PCA的主要思想是寻找到数据的主轴方向,由主轴构成一个新的坐标系,这里的维数可以比原维数低,然后数据由原坐标系向新的坐标系投影,这个投影的过程就可以是降维的过程。
推导过程神马的就不扯了,推荐一个课件:http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf,讲得挺详细的
然后说下算法的步骤
1.计算所有样本的均值m和散布矩阵S,所谓散布矩阵同协方差矩阵;2.计算S的特征值,然后由大到小排序;3.选择前n'个特征值对应的特征矢量作成一个变换矩阵E=[e1, e2, …, en’];4.最后,对于之前每一个n维的特征矢量x可以转换为n’维的新特征矢量y:y = transpose(E)(x-m)
最后还得亲自做下才能记得住:用Python的numpy做的,用C做的话那就是没事找事,太费事了,因为对numpy不熟,下面可能有错误,望各位大大指正
- mat = np.load("data.npy")#每一行一个类别数字标记与一个特征向量
- data = np.matrix(mat[:,1:])
- avg = np.average(data,0)
- means = data - avg
- tmp = np.transpose(means) * means / N #N为特征数量
- D,V = np.linalg.eig(tmp)#DV分别对应特征值与特征向量组成的向量,需要注意下的是,结果是自动排好序的,再次膜拜numpy OTL
- #print V
- #print D
- E = V[0:100,:]#这里只是简单取前100维数据,实际情况可以考虑取前80%之类的
- y = np.matrix(E) * np.transpose(means)#得到降维后的特征向量
- np.save("final",y)
另外,需要提一下的是OpenCV(无所不能的OpenCV啊OTL)中有PCA的实现:
- void cvCalcPCA( const CvArr* data,//输入数据
- CvArr* avg, //平均(输出)
- CvArr* eigenvalues, //特征值(输出)
- CvArr* eigenvectors, //特征向量(输出)
- int flags );//输入数据中的特征向量是怎么放的,比如CV_PCA_DATA_AS_ROW
最后,说下PCA的缺点:PCA将所有的样本(特征向量集合)作为一个整体对待,去寻找一个均方误差最小意义下的最优线性映射投影,而忽略了类别属性,而它所忽略的投影方向有可能刚好包含了重要的可分性信息
PCA假设
1. 变量符合高斯分布(正太分布)
2. 变量之间的影响是线性的,也就是可以通过线性变化将数据还原成主要因数
3. 协方差最大的元素对应的转换向量越重要
4. 转换矩阵是正交的
PCA的整个推导过程都是遵循上面的四条假设,如果违反了这些假设,PCA可能作用不大,甚至有反作用,所以使用PCA时需要谨慎。
PCA最佳实践
- 压缩数据,主成份一般在90%,95%和99%几档,根据实际需要选取
- 加速模型建模,缩短时间(PCA处理后,建模,需要保留转换向量P,并用P处理预测数据)
- 可视化,如果前两个或三个数据可以表示90%以上的成分,那么可以进行可视化
- PCA处理数据之前需要去报每个列的均值为0(mean normalization),同时需要确保量纲相同(scaling),否则数值较大的几个变量会占据主要成分。
- 不要将PCA作为解决过拟合的方法,虽然使用PCA后,确实可以减少过拟合,但是原因可能是feature减少了。采用regulations缓解过拟合。
- 设计ML系统时,不要一开始就期望使用PCA,提高模型性能。只有当所有非PCA方法无法达到效果时,在使用PCA。PCA处理数据时没有考虑到y,会损失部分有价值信息
参考资料
[1] PCA维基百科
[2] PCA R示例(英文)
[4] 最后那幅宇宙图片的例子很形象
[5] Google研究员Jon Shlens的PCA原理介绍论文(英文)