向量点积定义的证明

设两个向量$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA} = (x_1, y_1), \mathbf{b} = \overrightarrow{OB} = (x_2, y_2)$，两向量夹角为$\theta$，向量点积的定义如下：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

第一部分可以通过解析几何理解，即一个向量向另一个向量做投影。然而第二部分的定义有什么意义？关键问题是，为什么$ |\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$？下面就对这个问题进行证明。

\begin{align} \because \overrightarrow{OA} &= \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} \\ \therefore \overrightarrow{BA} &= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) \end{align}

在$\triangle{OAB}$中，根据余弦定理：$| \overrightarrow{BA} |^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 - 2 |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{\theta}$，并且$|\overrightarrow{BA}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$，$|\overrightarrow{OA}|^2 = x_1^2 + y_1^2$，$|\overrightarrow{OB}|^2 = x_2^2 + y_2^2$，所以$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = ( x_1^2 + y_1^2) + ( x_2^2 + y_2^2) - 2 |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{\theta}$，因此便有：

$$|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

即：

$$|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

参考内容：http://mail.smhs.kh.edu.tw/~tch044/vector/sub-2.htm

 

顺便提一下：在MathJax中要想显示粗体的希腊字母，如$\boldsymbol{\alpha}$，应该用\boldsymbol{}这个宏，其他的像\mathbf，\bf，\bm等等均无法做到，原因应该是MathJax只使用了AMSmath的宏包。