[数学基础] 7 欧拉函数

欧拉函数

非常有用的欧拉函数！嗯……好像应该放在四大定理前讲的来着QAQ

1. 欧拉函数的定义

• 定义$\varphi(N)$为$1$~$N$中与$N$互质的数，假设$N$可以表达为$p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$，$\forall i\in [1,k], p_i$为质数，$a_i>0$

  则$\varphi(N)=N\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$

特别的，规定$\varphi(1)=1$。（唯一和1互质的数就是1本身）

证明：容斥原理

1. 先去掉1~N中$p_1$的倍数，再去掉1~N中$p_2$的倍数，……直到去掉1~N中$p_k$的倍数。那么，此时答案就是

   $$N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}$$

2. 这个答案，将$p_i\times p_j, (i,j\in[1,k], i\neq j)$重复减去了多次，需要把它们加回来

   $$N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1p_2}+\frac{N}{p_1p_3}+...+\frac{N}{p_{k-1}p_k}$$

3. 考虑这样的三元组$p_ap_bp_c$，它们先是被1中的式子$p_a,p_b,p_c$减去了三次，又在2中的式子$p_ap_b,p_ap_c,p_bp_c$中加了三次，总体没加也没减。因此要把三元组的倍数从$N$中减去

   $$N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1p_2}+\frac{N}{p_1p_3}+...+\frac{N}{p_{k-1}p_k}-\frac{N}{p_1p_2p_3}-...-\frac{N}{p_{k-2}p_{k-1}p_{k}}$$

4. 以此类推，最终化简上面的式子，可得

   $$N\times(1-\frac{1}{p_1}-...-\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_1p_2}+...+\frac{1}{p_{k-1}p_k}-...)\\=N\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$$

• 时间复杂度：欧拉函数时间复杂度最大的地方在于分解质因数，因此时间复杂度为$O(\sqrt N)$。

欧拉函数模板

int phi(int x){
    int res = x;
    for (int i=2;(ll)i*i<=x;++i){
        if (x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

2. 欧拉函数的性质

性质1

• $\sum a=\frac{n\times \varphi(n)}{2}, n>1, a\in[1,n),(a,n)=1$。

性质2

• $\forall n>2,\varphi(n)$为偶数。

证明：$\because (n,x)=(n,n-x), n>x$

假设$\exist x\in[1,n)$，$(n,x)=(n,n-x)=1,x=n-x, n>2$，则$n=2x$，矛盾。

$\therefore[1,n)$中与$n$互质的数均是成对出现的，因此$[1,n)$与$n$互质的数是偶数，即$\varphi(n)$为偶数。

观察$(n,x)=(n,n-x)=1$，也说明了任意一对与$n$互质的数，相加均为$n$，所以有$\sum a = \frac{n\times\varphi(n)}{2}$

性质3

• $\sum\limits _{d|n} \varphi(d)=n$

设$f(n)=\varphi * I=\sum\limits _{d|n}\varphi(d)$，则$f(n)$为一个积性函数。

将$n$唯一分解为$n= \prod_{i=1}^kp_i^{a_i} = p_1^{a_1}p_2^{a_2}..p_k^{a_k}$，则

$f(p_i^{a_i})=\varphi(1)+\varphi(p_i)+..+\varphi(p_i^{a_k})\\=1+(p-1)+..+(p^k-p^{k-1})=p^k$

$f(n)=f(p_1^{a_1})\times f(p_2^{a_2})\times ..\times f(p_k^{a_k})=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}=n$，证毕。

性质4

• 欧拉函数为积性函数，但不是完全积性函数，当$(n,m)=1$时，满足$\varphi(m\times n)=\varphi(m)\times \varphi(n)$。那么显然，当$n$唯一分解后，$\varphi(n)=\prod_{i=1}^k\varphi(p_i^{a_i})$。

证明：若$(n,m)=1$，则$n,m$没有相同的质因子，记$n$的质因子个数为$c_1$，$m$的质因子个数为$c_2$，则

$\varphi(n)\times \varphi(m)=n\times m\times \prod_{i=1}^{c_1}(1-\frac 1 {p_i})\times \prod_{i=1}^{c_2}(1-\frac 1 {p_i})=\prod_{i=1}^{c_1+c2}(1-\frac 1 {p_i})=\varphi(n\times m)$

例题：cf776E The Holmes Children

性质5

• $\frac {\varphi(n)} n=\sum\limits_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}$。

写成狄利克雷卷积的形式

$\varphi * I=id$，$\varphi * I * \mu=id * \mu$

$\varphi * (I * \mu)=id * \mu$

$\varphi*e=id*\mu$

即$\varphi(n)=\sum\limits _{d|n}\frac n d\times \mu(d)$，也就是$\frac {\varphi(n)} n=\sum\limits_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}$

性质6

当$n=p^k$时，$\varphi(n)=p^k-p^{k-1}$

证明：当$n$只有一个质因数时，$\varphi(n)=p^k\times(1-\frac 1 p)=p^k-p^{k-1}$

3. 筛法求欧拉函数

假设目前已知$\varphi(i)$的值，$p_j$为某一质数，求$\varphi(i\times p_j)$的值。

将$i$表示为$p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$，$\varphi(i)=i\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$，

1. $i\%p_j==0$时，$i\times p_j$中不存在新的质因子

   $\therefore \varphi(i\times p_j)=i\times p_j\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})=\varphi(i)\times p_j$

2. $i\%p_j\neq 0$时，$p_j$为新的质因子

   $\begin{align} & \therefore \varphi(i\times p_j)=i\times p_j\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\times (1-\frac{1}{p_j})\\ & =\varphi(i)\times p_j\times(1-\frac{1}{p_j})\\ & =\varphi(i)\times(p_j-1) \end{align}$

• 代码

int n, cnt;
const int N = 1e6 + 10;
int E[N], p[N];
bool st[N];

void Eulers(){
    E[1] = 1;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (!st[i]){
            p[++cnt] = i;
            E[i] = i - 1;
        }
        for (int j=1;p[j]<=n/i;++j){
            int t = p[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % p[j] == 0){
                E[t] = E[i] * p[j];
                break;
            }
            E[t] = E[i] * (p[j] - 1);
        }
    }
}