[数学基础] 5 快速幂和同余的基本概念

这是为6的铺垫（可以这么说嘛QAQ），于是就把最后的简单小知识扔在了这里。
恭喜你看到这里！在下一节，我就要开始胡扯初等数论的四大定理了，而在这之前，我认为能够熟练掌握快速幂，以及了解同余的一些基本概念是比较重要的。因为，网络上很多公式的推导都用了一些（我一开始）很难懂的符号，而且数学素养高超的网友有时也会跳过一些步骤，或者有一些错漏之处，因此，大概的了解一些基础知识很重要。而我只是简单的介绍一些经常出现的概念，如果想要详细了解，可以买陈景润的《初等数论》，真的是非常好的书，面向中学生和社会上的数学爱好者编著，因此也较为好懂。

快速幂

不会吧不会吧不会真的要我介绍快速幂吧QAQ，不知道从何说起所以俺润辣（

1. 定义

// 求a^b % p 时间复杂度O(logN)
ll qmi(ll a, ll b, ll p){
    ll res = 1LL % p;
    while (b){
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

2. 快速幂求逆元

乘法逆元的定义

​ 若对于整数$b,m$，有$(b,m)=1$（即$b,m$互质），并且对于任意的整数$a$，如果满足$b|a$，则$\exist x\in N$，$s.t.~~\frac{a}{b}=a\times x(mod~ m)$，则称$x$为$b$的模$m$乘法逆元，记为$b^{-1}(mod~m)$。

• $b$存在乘法逆元的充要条件是$(b,m)=1$，当$m$为质数时，$b$的乘法逆元为$b^{m-2}$。

• 小性质

  $\frac{a}{b} \equiv a\times x(mod ~m)$ $\frac{a}{b} \equiv a\times b^{-1}(mod ~m)$

  则$a\equiv a\times b \times b^{-1}(mod ~m)$ 即 $b\times b^{-1} \equiv 1(mod ~m)$

• 费马小定理

  $\forall p$为质数，$a$为任意整数，有$a^{p-1}\equiv 1(mod ~p)$

  小推论：$b\times b^{p-2}\equiv 1(mod~p)$，因此$b$的乘法逆元为$b^{p-2}$

同余

1. 定义

如果$a,b\in\Z$，而$m$是一个固定的正整数，则当$m|(a-b)$时，我们就说$a,b$对模$m$同余，记作$a\equiv b(\mod m)$，当$m$不能整除$a-b$时，我们就说$a,b$对模$m$不同余，记作$a \not\equiv b(\mod m)$。

2. 运算法则

$$\begin{cases} A\times B~mod ~P = (A ~mod ~P \times B ~mod ~P) \mod P\\ (A + B)~ mod~ P = (A ~mod ~P + B ~mod ~P) \mod P \\ (A - B)~ mod ~P = (A ~mod~ P - B ~mod ~P + P) \mod P \\ 令cnt(x)=\_\_bulitin\_popcount(x), 则\\ cnt(A \oplus B) ~mod ~2 = cnt(A)~mod 2~ \oplus cnt(B)\mod 2 \\ A\equiv B(mod~P) \rightarrow A^n\equiv B^n \mod m \end{cases}$$

3. 基本概念

(1) 剩余类 完全剩余系 和 简化剩余系

• 剩余类：也叫同余类，设模为$n$，则根据余数可将所有的整数分为$n$类，把所有和整数$a$模$n$同余的整数构成的集合叫做模$n$的一个剩余类，记作$[a]$，并把$a$叫做剩余类$[a]$的一个代表元。
• 完全剩余系：从模$n$的每个剩余类中各取一个数，得到一个由$n$个数组成的集合，叫做模$n$的一个完全剩余系。最常用的完全剩余系是$\{0,1,...,n-1\}$。
• 简化剩余系：也称既约剩余系或缩系，是$n$的完全剩余系中与$n$互质的数构成的子集。如果模$n$的一个剩余类里所有数都与$n$互质，就把它叫做与模$n$互质的剩余类。在与模$n$互质的全体剩余类中，从每个类中各任取一个数作为代表组成的集合，叫做模$n$的一个简化剩余系。

4. 常用小定理

• 定理1：如果$a,b,c$是任意三个整数，$m$是一个正整数且$(m,c)=1$，则当$ac\equiv bc(\mod m)$时，有$a\equiv b(\mod m)$。

证明：由于$c(a-b)=ac-bc=mq$，其中$q\in \Z$，$(m,c)=1$。我们有$a-b=m\frac{q}{c}=mq_1$。

• 定理2：满足$a^{x}\equiv 1(\mod m)$的最小正整数$x$，一定是$\varphi(m)$的约数，即$x|\varphi(m)$。

反证法。假设$x\not\mid \varphi(m),\varphi(m)=qx+r, r\in(0,x)$。

则有$a^{qx}\equiv 1^q(\mod m)$，$a^{qx+r}\equiv 1(\mod m)$

$a^r\equiv 1(\mod m)$，$r<x$，又$x$是满足同余式的最小正整数，矛盾。得证。

• 定理3：$\exist x>0$，使得$a^x\equiv 1(\mod m)$成立，它的充分必要条件为$(a,m)=1$。

必要性：即欧拉定理$a^{\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)$的证明；

充分性：（反证法）若$a^x\equiv 1(\mod m),x>0$，则$a^x+k\times m=1$，若$(a,m)=w>1$，则$a^x+k\times m=w\times\frac{a^x+k\times m}{w}\geq w>1$。矛盾，得证。