动态规划——四边形优化

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需要使用到的结论：

转移方程形如$dp[i][j]=min_{i \leq k \leq j}(dp[i][k-1],dp[k][j]+w[i][j]) (min$可以换成$max)$

定义一：对任意的$i\leq i' \leq j \leq j'$满足$w[i][j] \leq w[i'][j']$,则$w$单调

定义二：对任意的$i\leq i' \leq j \leq j'$满足$w[i][j]+w[i'][j'] \leq w[i][j']+w[i'][j]$则称$w$满足四边形不等式

定理一：如果$w$满足四边形不等式，则$dp$也满足四边形不等式

定理二：如果$dp$满足四边形不等式，那么$s$单调，即$s[i][j] \leq s[i][j+1] \leq s[i+1][j+1]$

根据定理，$dp$方程可以优化成$dp[i][j]=\min_{s[i][j-1] \leq k \leq s[i+1][j]}(dp[i][k-1],dp[k][j]+w[i][j])$