向量的点乘叉乘

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

  AB+BC=AC。

  a+b=(x+x'，y+y')。

  a+0=0+a=a。

  向量加法的运算律：

  交换律：a+b=b+a；

  结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

  

2、向量的减法

 

  如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

  AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

  a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

  

4、向量数乘

 

  实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

  当λ＞0时，λa与a同方向；

  当λ＜0时，λa与a反方向；

  当λ=0时，λa=0，方向任意。

  当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

  注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

  实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

  当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

  当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

  数与向量的乘法满足下面的运算律

  结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

  向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

  数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

  数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

  

3、向量的的数量积

 

  定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

  定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

  向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

  向量的数量积的运算律

  a•b=b•a（交换律）；

  (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；

  （a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

  向量的数量积的性质

  a•a=|a|的平方。

  a⊥b 〈=〉a•b=0。

  |a•b|≤|a|•|b|。

  向量的数量积与实数运算的主要不同点

  1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

  2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。

  3、|a•b|≠|a|•|b|

  4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

  

4、向量的向量积

 

  定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

  向量的向量积性质：

  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

  a×a=0。

  a‖b〈=〉a×b=0。

  向量的向量积运算律

  a×b=-b×a；

  （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

  （a+b）×c=a×c+b×c.

  注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

  

向量的三角形不等式

 

  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

  ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；

  ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

  ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；

  ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

  

定比分点

 

  定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

  设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

  若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

  OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

  x=(x1+λx2)/(1+λ),

  y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

  我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

  三点共线定理

  若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

  三角形重心判断式

  在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

  若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

  a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

  零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

  a⊥b的充要条件是 a•b=0。

  a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

  零向量0垂直于任何向量.

 

 

 

分清点乘和叉乘

 

点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>

在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。

叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因此

向量的外积不遵守乘法交换率，因为

向量a×向量b=-向量b×向量a

在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

将向量用坐标表示（三维向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则

向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

向量a×向量b=

| i j k|

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。