数据统计分析 — 二项分布

离散型随机变量的概率分布 - 二项分布

• 伯努利实验
• 泊松分布

工作中用到的比较少

在现实生活中，许多事件的结果往往只有两个。例如：抛硬币，正面朝上的结果只有两个：国徽或面值；检查某个产品的质量，其结果只有两个：合格或不合格；购买彩票，开奖后，这张彩票的结果只有两个：中奖或没中奖；拨打女朋友电话：接通或没接通。。。以上这些事件都可被称为伯努利试验

伯努利试验是单次随机试验，只有"成功（值为1）"或"失败（值为0）"这两种结果，是由瑞士科学家雅各布·伯努利(1654 - 1705)提出来的。

其概率分布称为伯努利分布(Bernoulli distribution)，也称为两点分布或者0-1分布，是最简单的离散型概率分布。我们记成功概率为p(0≤p≤1)，则失败概率为q=1-p，则概率：

而二项分布是指在只有两个结果的n次独立的伯努利试验中，所期望的结果出现次数的概率

在单次试验中，结果A出现的概率为p，结果B出现的概率为q，p+q=1。那么在n=10，即10次试验中，结果A出现0次、1次、……、10次的概率各是多少呢？这样的概率分布呈现出什么特征呢？这就是二项分布所研究的内容。

案例：还是抛硬币，抛5次，计算2次正面朝上的概率

计算过程

假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x，发生这种情况的概率可用下面公式来计算：

二项分布公式

其中

是二项式的计算方式 ！表示阶乘

上述案例使用Excel计算方式：

=BINOM.DIST(2,5,0.5,FALSE)

函数介绍

BINOM.DIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)

BINOM.DIST 函数语法具有以下参数：

• Number_s 必需。 试验的成功次数。
• Trials 必需。 独立试验次数。总数
• Probability_s 必需。 每次试验成功的概率。
• cumulative 必需。 决定函数形式的逻辑值。 如果 cumulative 为 TRUE，则 BINOM.DIST 返回累积分布函数，即最多存在 number_s 次成功的概率；如果为 FALSE，则返回概率密度函数，即存在 number_s 次成功的概率。
  一个是包括之前的，一个是包含当前的次数，只计算2次。就用 FALSE,如果至少2次，还要包括0次、1次、2次

二项分布的特征：
1.进行n次相同条件下的相互独立的重复试验

2.每次试验，只有2个结果，成功或者失败

3.出现成功的概率P每次试验是相同的，失败的概率q也是，并且p+q=1

如果符合上面的条件，那就是二项分布，如果上述试验只进行一次，就叫做伯努利试验，也是就二项分布是n次伯努利试验的结果。

二项分布的均值（np）和方差分别（npq）
n: 重复次数（样本数）
p: 概率，期望的结果（成功的概率）
q: 1-p （失败的概率）
二项分布形状变化规律，可明显由下图观察出来。图中的横轴代表试验"成功"的次数；纵轴代表次数对应的概率；红线是均值为np、方差为npq的正态分布曲线。

由此可见，二项分布是一个概率分布族，随着试验次数n和成功概率p的不同而不同，且它与正态分布关系密切。在中间时，趋向正态分布，一般 >= 30 趋向于正态
二项分布在工作中并不经常用到，不过在赌场倒是挺有用的，有想去玩一把的同学可以深入研究一下。

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