组合数公式
组合数公式
基本公式
性质
\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}
\]
通项公式
\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
递推公式
\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\\
\]
常用公式
\[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\\
m\binom{n}{m}=n\binom{n-1}{m-1}\\
\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{n+m}{m}\\
\to \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\\
\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}\\
\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}=n2^{n-1}
\]
二项式定理
\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}
\]
组合数转斯特林数
\[n^m=\sum_{i=0}^m \begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}n^{\underline{i}}\\
n^m=\sum_{i=0}^m\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}(-1)^{m-i}n^{\overline{i}}
\]
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组合数转斐波那契数列
\[\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i}=F_{n+1}
\]
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