FWT)

一、快速莫比乌斯变换

快速莫比乌斯变换简称 $F M T$ ，用于快速计算位运算卷积。

我们定义 $A$ 的莫比乌斯变换为 $F M T (A)$ ， $A_{i}$ 为 $A$ 的第 $i$ 项。

1、或卷积

我们要求： $C_{x} = \sum_{i \cup j = x} A_{i} B_{j}$

若有 $F M T (A)_{i} \times F M T (B)_{i} = F M T (C)_{i}$ ，我们就能通过逆变换快速求出 $C$ 出来。

定义： $F M T (A)_{n} = \sum_{i \in n} A_{i}$ ，其中 $i, n$ 都是二进制表示的集合。

$F M T (A)_{x} \times F M T (B)_{x} = \sum_{i \in x} A_{i} \sum_{j \in x} B_{j} = \sum_{i \in x} \sum_{j \in x} A_{i} B_{j} = \sum_{k \in x} \sum_{i \cup j = k} A_{i} B_{j} = \sum_{k \in x} C_{k} = F M T (C)_{x}$

所以利用子集和可以加速求出或卷积。

那如何快速求出子集和捏？不就是高维前缀和了捏！

高维前缀和： $S_{i} = \sum_{i \cup j = i} A_{j}$

code：

void FMT(int *f,int n,int op)//op=1为正变换，op=-1为逆变换
{
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=0;j<(1<<n);++j)
            if(j&(1<<i))f[j]+=f[j^(1<<i)]*op;
}

2、与卷积

我们要求： $C_{x} = \sum_{i \cap j = x} A_{i} B_{j}$

若有 $F M T (A)_{i} \times F M T (B)_{i} = F M T (C)_{i}$ ，我们就能通过逆变换快速求出 $C$ 出来。

定义： $F M T (A)_{n} = \sum_{n \in i} A_{i}$ ，其中 $i, n$ 都是二进制表示的集合。

$F M T (A)_{x} \times F M T (B)_{x} = \sum_{x \in i} A_{i} \sum_{x \in j} B_{j} = \sum_{x \in i} \sum_{x \in j} A_{i} B_{j} = \sum_{x \in k} \sum_{i \cap j = k} A_{i} B_{j} = \sum_{x \in k} C_{k} = F M T (C)_{x}$

这不就是高维后缀和了捏！

高维后缀和： $S_{i} = \sum_{i \cap j = i} A_{j}$

code：

void FMT(int *f,int n,int op)//op=1为正变换，op=-1为逆变换
{
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=0;j<(1<<n);++j)
            if(j&(1<<i))f[j^(1<<i)]+=f[j]*op;
}

二、快速沃尔什变换

快速沃尔什变换简称 $F W T$ ，同样用于快速计算位运算卷积。

我们定义 $A$ 的沃尔什变换为 $F W T (A)$ ， $A_{i}$ 为 $A$ 的第 $i$ 项。

1、异或卷积

定义： $F W T (A)_{x} = \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} (- 1)^{| x \land k |} A_{k}$

$F W T (C)_{x} = \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} (- 1)^{| x \land k |} C_{k}$

$= \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} (- 1)^{| x \land k |} \sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} \sum_{j = 0}^{2^{n} - 1} [i \oplus j = k] A_{i} B_{j}$

$= \sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} \sum_{j = 0}^{2^{n} - 1} (- 1)^{| (i \oplus j) \land x |} A_{i} B_{j}$

$= \sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} \sum_{j = 0}^{2^{n} - 1} (- 1)^{| x \land i |} A_{i} \cdot (- 1)^{| x \land j |} B_{j}$

$= (\sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} (- 1)^{| x \land i |} A_{i}) (\sum_{j = 0}^{2^{n} - 1} (- 1)^{| x \land j |} B_{j})$

$= F W T (A)_{x} \times F W T (B)_{x}$

和高维前缀和相似，我们对每一位依次考虑。对于第 $i$ 位和一个不包含 $i$ 的集合 $S$ ，设 $x = a_{S}, y = a_{S + 2^{i}}$ ，则有新的 $a_{S} = x + y, a_{S + 2^{i}} = x - y$ 。

code：

void FWT(int *f,int n,int op)
{
    for(int i=1;i<(1<<n);i<<=1)
        for(int j=0;j<(1<<n);j+=(i<<1))
            for(int k=j;k<j+i;++k)
            {
                int x=f[k],y=f[k+i];
                if(op==1)f[k]=x+y,f[k+i]=x-y;
                else f[k]=(x+y)/2,f[k+i]=(x-y)/2;
            }
}

~~是不是很简单~~

当然， $F M T$ 也可以计算或卷积和与卷积，但懒得打了（咕咕咕

2、子集卷积

upt：2022.7.7
其实半年前就学了这东西，但忘了补到博客上来了（

期望构造一个占位函数 $w (x)$ 使得 $i & j = 0, i | j = k$ 当且仅当 $i \oplus j = k, w (i) + w (j) = w (k)$ ，容易构造 $w (x) = | x |$ 。

令 $f_{i, j} = {\begin{cases} A_{j} & w (j) = i \\ 0 & w (j) \neq i \end{cases}, g_{i, j} = {\begin{cases} B_{j} & w (j) = i \\ 0 & w (j) \neq i \end{cases}$

计算 $h_{k} = \sum_{i = 0}^{k} f_{i} * g_{k - i}$ ，最后答案为 $c_{k} = h_{w (k), k}$ 。时间复杂度为 $O (2_{n} n^{2})$ 。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pc(x) putchar(x)
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){f=ch=='-'?-1:f;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}
void write(int x)
{
    if(x<0){x=-x;putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
const ll mod=1e9+9;
int n;
int a[21][3000005],b[21][3000005],c[21][3000005];
int cnt(int x){return __builtin_popcount(x);}
void FMT(int *f,int n,int op)
{
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=0;j<(1<<n);++j)
            if(j&(1<<i))f[j]+=f[j^(1<<i)]*op,f[j]=((ll)f[j]+mod)%mod;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=0;i<(1<<n);++i)
        a[cnt(i)][i]=read();
    for(int i=0;i<(1<<n);++i)
        b[cnt(i)][i]=read();
    for(int i=0;i<=n;++i)FMT(a[i],n,1),FMT(b[i],n,1);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        for(int j=0;j<=i;++j)
            for(int k=0;k<(1<<n);++k)
                c[i][k]=(ll)(c[i][k]+(ll)a[j][k]*b[i-j][k]%mod)%mod;
    for(int i=0;i<=n;++i)FMT(c[i],n,-1);
    for(int i=0;i<(1<<n);++i)write(c[cnt(i)][i]),pc(' ');
    return 0;
}