快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)
一、快速莫比乌斯变换
快速莫比乌斯变换简称 \(FMT\) ，用于快速计算位运算卷积。
我们定义 \(A\) 的莫比乌斯变换为 \(FMT(A)\) ，\(A_i\) 为 \(A\) 的第 \(i\) 项。
1、或卷积
我们要求：\(\large C_x=\sum\limits_{i\cup j=x}A_iB_j\)
若有 \(\large FMT(A)_i\times FMT(B)_i=FMT(C)_i\) ，我们就能通过逆变换快速求出 \(C\) 出来。
定义：\(\large FMT(A)_n=\sum\limits_{i\in n}A_i\) ，其中 \(i,n\) 都是二进制表示的集合。
\(\large FMT(A)_x\times FMT(B)_x=\sum\limits_{i\in x}A_i\sum\limits_{j\in x}B_j=\sum\limits_{i\in x}\sum\limits_{j\in x}A_iB_j=\sum\limits_{k\in x}\sum\limits_{i\cup j=k}A_iB_j=\sum\limits_{k\in x}C_k=FMT(C)_x\)
所以利用子集和可以加速求出或卷积。
那如何快速求出子集和捏？不就是高维前缀和了捏！
高维前缀和：\(\large S_i=\sum\limits_{i\cup j=i}A_j\)
code：
void FMT(int *f,int n,int op)//op=1为正变换，op=-1为逆变换
{
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i))f[j]+=f[j^(1<<i)]*op;
}
2、与卷积
我们要求：\(\large C_x=\sum\limits_{i\cap j=x}A_iB_j\)
若有 \(\large FMT(A)_i\times FMT(B)_i=FMT(C)_i\) ，我们就能通过逆变换快速求出 \(C\) 出来。
定义：\(\large FMT(A)_n=\sum\limits_{n\in i}A_i\) ，其中 \(i,n\) 都是二进制表示的集合。
\(\large FMT(A)_x\times FMT(B)_x=\sum\limits_{x\in i}A_i\sum\limits_{x\in j}B_j=\sum\limits_{x\in i}\sum\limits_{x\in j}A_iB_j=\sum\limits_{x\in k}\sum\limits_{i\cap j=k}A_iB_j=\sum\limits_{x\in k}C_k=FMT(C)_x\)
这不就是高维后缀和了捏！
高维后缀和：\(\large S_i=\sum\limits_{i\cap j=i}A_j\)
code：
void FMT(int *f,int n,int op)//op=1为正变换，op=-1为逆变换
{
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i))f[j^(1<<i)]+=f[j]*op;
}
二、快速沃尔什变换
快速沃尔什变换简称 \(FWT\) ，同样用于快速计算位运算卷积。
我们定义 \(A\) 的沃尔什变换为 \(FWT(A)\) ，\(A_i\) 为 \(A\) 的第 \(i\) 项。
1、异或卷积
定义：\(\large FWT(A)_x=\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}(-1)^{|x\wedge k|}A_k\)
\(\large FWT(C)_x=\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}(-1)^{|x\wedge k|}C_k\)
\(\large ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}(-1)^{|x\wedge k|}\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}[i\oplus j=k]A_iB_j\)
\(\large ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{|(i\oplus j)\wedge x|}A_iB_j\)
\(\large ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{|x\wedge i|}A_i·(-1)^{|x\wedge j|}B_j\)
\(\large ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}(-1)^{|x\wedge i|}A_i)(\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{|x\wedge j|}B_j)\)
\(\large ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=FWT(A)_x \times FWT(B)_x\)
和高维前缀和相似，我们对每一位依次考虑。对于第 \(i\) 位和一个不包含 \(i\) 的集合 \(S\) ，设 \(x=a_S,y=a_{S+2^i}\) ，则有新的 \(a_S=x+y,a_{S+2^i}=x-y\)。
code：
void FWT(int *f,int n,int op)
{
for(int i=1;i<(1<<n);i<<=1)
for(int j=0;j<(1<<n);j+=(i<<1))
for(int k=j;k<j+i;++k)
{
int x=f[k],y=f[k+i];
if(op==1)f[k]=x+y,f[k+i]=x-y;
else f[k]=(x+y)/2,f[k+i]=(x-y)/2;
}
}
是不是很简单
当然，\(FMT\) 也可以计算或卷积和与卷积，但懒得打了（咕咕咕
2、子集卷积
upt：2022.7.7
其实半年前就学了这东西，但忘了补到博客上来了（
期望构造一个占位函数 \(w(x)\) 使得 \(i\&j=0,i|j=k\) 当且仅当 \(i\oplus j=k,w(i)+w(j)=w(k)\)，容易构造 \(w(x)=|x|\)。
令 \(f_{i,j}=\begin{cases}A_j&w(j)=i\\0&w(j)\not= i\end{cases},g_{i,j}=\begin{cases}B_j&w(j)=i\\0&w(j)\not= i\end{cases}\)
计算 \(h_k=\sum\limits_{i=0}^{k}f_i*g_{k-i}\)，最后答案为 \(c_k=h_{w(k),k}\)。时间复杂度为 \(O(2_nn^2)\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define pc(x) putchar(x)
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){f=ch=='-'?-1:f;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
void write(int x)
{
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+48);
}
const ll mod=1e9+9;
int n;
int a[21][3000005],b[21][3000005],c[21][3000005];
int cnt(int x){return __builtin_popcount(x);}
void FMT(int *f,int n,int op)
{
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i))f[j]+=f[j^(1<<i)]*op,f[j]=((ll)f[j]+mod)%mod;
}
int main()
{
n=read();
for(int i=0;i<(1<<n);++i)
a[cnt(i)][i]=read();
for(int i=0;i<(1<<n);++i)
b[cnt(i)][i]=read();
for(int i=0;i<=n;++i)FMT(a[i],n,1),FMT(b[i],n,1);
for(int i=0;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=i;++j)
for(int k=0;k<(1<<n);++k)
c[i][k]=(ll)(c[i][k]+(ll)a[j][k]*b[i-j][k]%mod)%mod;
for(int i=0;i<=n;++i)FMT(c[i],n,-1);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)write(c[cnt(i)][i]),pc(' ');
return 0;
}
代码是我自己打的，算法过程是搬APIO2022蔡欣然巨佬讲课的PDF。
3、子集卷积 exp
咕咕咕
4、多项式复合集合幂级数
