李超线段树

李超线段树

这是个维护平面上线段或直线的数据结构，常用来解决计算几何相关的题目，如：斜率优化DP。

模板：洛谷P4097 [HEOI2013]Segment

题目描述

要求在平面直角坐标系下维护两个操作：

1. 在平面上加入一条线段。记第 $i$ 条被插入的线段的标号为 $i$ 。
2. 给定一个数 $k$ ，询问与直线 $x=k$ 相交的线段中，交点纵坐标最大的线段的编号。

输入格式

本题输入强制在线。

输入的第一行是一个整数 $n$ ，代表操作的个数。

接下来 $n$ 行，每行若干个用空格隔开的整数，第 $(i+1)$ 行的第一个整数为 $op$ ，代 表第 $i$ 次操作的类型。

若 $op=0$ ，则后跟一个整数 $k$ ，代表本次操作为查询所所有与直线 $x=(k+lastans-1)mod39989+1$ 相交的线段中，交点纵坐标最大的线段编号。

若 $op=1$ ，则后跟四个整数 $x_0,y_0,x_1,y_1$ ，记 $x_i^{\prime }=(x_i+lastans-1)mod39989+1$ ，$y_i^{\prime }=(y_i+lastans-1)mod{10}^9+1$ 。本次操作为插入一条两端点分别为 $(x_0^{\prime },y_0^{\prime }),(x_1^{\prime },y_1^{\prime })$ 的线段。

其中 $lastans$ 为上次询问的答案，初始时，$lastans=0$ 。

输出格式

对于每次查询，输出一行一个整数，代表交点纵坐标最大的线段的编号。若不存在任何一条线段与查询直线有交，则输出 $0$ ；若有多条线段与查询直线的交点纵坐标都是最大的，则输出编号最小的线段，同时 $lastans$ 也应更新为编号最小的一条线段。

解法

题目大意是，在一个二维平面上，依次加入若干条线段，询问对于某个 $x$ 的最大值，强制在线

李超树像普通线段树一样同样支持两种操作：插入和查询

插入

在李超树上每个节点 $[l,r]$ ，存了一个优势线段，这条线段在 $mid$ 的值是最大的

考虑在区间 $[L,R]$ 插入一条线段 $l_0$ ，每到一个线段树上区间被 $[L,R]$ 完全覆盖的节点，与节点上存的优势线段 $l_1$ 比较

• 如果 $l_0$ 在 $x=mid$ 上的值比 $l_1$ 大，显然这个节点的优势线段变成了 $l_0$ ，$swap{l}_0$ 和 $l_1$

• 如果 $l_0$ 在 $x=l$ 上的值比 $l_1$ 大，要么 $l_0$ 在 $[l,mid]$ 这段区间覆盖了 $l_1$ ，或者 $l_0$ 与 $l_1$ 在 $[l,mid]$ 中有交点，递归到左区间

• 如果 $l_0$ 在 $x=r$ 上的值比 $l_1$ 大，要么 $l_0$ 在 $[mid+1,r]$ 这段区间覆盖了 $l_1$ ，或者 $l_0$ 与 $l_1$ 在 $[mid+1,r]$ 中有交点，递归到右区间

$swap{l}_0$ 和 $l_1$ 是因为，如果 $l_0$ 成为了这个区间的优势线段，那么 $l_1$ 也有可能与 $l_0$ 从而递归到儿子区间

我们需要将原线段分割到 $logn$ 个区间中，对于每个区间，我们又需要花费 $O(logn)$ 的时间更新该区间以及其子区间的优势线段，从而插入过程的时间复杂度为 $O(lo{g}^{2}n)$ 。

查询

查询对于某个 $x=k$ 的极值，在李超树上向下递归，用所有包含它的线段树区间的优势线段求出若干个值，一块取个 $max$ 就是答案，时间复杂度 $O(logn)$ 。

考虑为什么正确，首先我们插入一条线段时，当且仅当当前的优势线段完全覆盖了这个条线段，才会把这个线段舍去，所以不会影响答案的正确性

然后考虑为什么把路径上的所有值都求一遍，因为这个节点存的线段可能与儿子节点的线段有交点，到底取哪个线段作为最大值并不确定，所以把路径上的都求一遍取个最大值。

李超树代码

#include<bits/stdc++.h>
#define dl double
#define ls (pos<<1)
#define rs (pos<<1|1)
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){f=ch=='-'?-1:f;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int mn=1e5;
const int mod=39989;
const dl eps=1e-8;
int n,tr[mn<<4],cnt;
struct LC_line{dl k,b;}a[mn];
dl calc(LC_line Line,int x){return Line.k*x+Line.b;}
void solve(int X0,int Y0,int X1,int Y1)
{
    if(X0==X1)a[++cnt].k=0.0,a[cnt].b=(dl)max(Y0,Y1);
    else a[++cnt].k=(dl)(Y0-Y1)/(X0-X1),a[cnt].b=(dl)Y0-a[cnt].k*X0;
}
void change(int pos,int l,int r,int L,int R,int x)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=l&&r<=R)
    {
        if(calc(a[x],mid)-calc(a[tr[pos]],mid)>eps)swap(tr[pos],x);
        if(calc(a[x],l)-calc(a[tr[pos]],l)>eps)change(ls,l,mid,L,R,x);
        if(calc(a[x],r)-calc(a[tr[pos]],r)>eps)change(rs,mid+1,r,L,R,x);
        return;
    }
    if(L<=mid)change(ls,l,mid,L,R,x);
    if(R>mid) change(rs,mid+1,r,L,R,x);
}
int query(int pos,int l,int r,int x)
{
    if(l==r){return tr[pos];}int mid=(l+r)>>1,tmp=0;
    if(x<=mid)tmp=query(ls,l,mid,x);
    else tmp=query(rs,mid+1,r,x);
    return calc(a[tmp],x)>calc(a[tr[pos]],x)?tmp:tr[pos];
}
int main()
{
    n=read();int lastans=0;
    while(n-->0)
    {
        int opt=read();
        if(!opt)
        {
            int x=(read()+lastans-1)%mod+1;
            printf("%d\n",lastans=query(1,1,mod,x));
        }
        else
        {
            int X0=read(),Y0=read(),X1=read(),Y1=read();
            X0=(X0+lastans-1)%mod+1;Y0=(Y0+lastans-1)%(int)(1e9)+1;
            X1=(X1+lastans-1)%mod+1;Y1=(Y1+lastans-1)%(int)(1e9)+1;
            if(X0>X1)swap(X0,X1),swap(Y0,Y1);
            solve(X0,Y0,X1,Y1);change(1,1,mod,X0,X1,cnt);
        }
    }
    return 0;
}

后记

李超线段树不怎么考，涉及计算几何方面的知识，一般在维护斜率的题目中较为常用，实用性有限，用处不是很多。