Lucas定理

P3807 【模板】Lucas定理

此为费马小定理求解逆元版本

且只讲述如何做这道题 不讲定理证明

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一、前置知识

1、费马小定理

当 $p$ 为质数时，
有 $a^{p-1}\equiv 1(modp)$

$$

2、乘法逆元

若有 $ax\equiv 1(modp)$，则称 $x$ 是 $a$ 关于模 $p$ 下的乘法逆元

（1）逆元作用

我们在在求解
$\frac{b}{a}\equiv ?$ $(modp)$
时，直接算$(\frac{bmodp}{amodp})$ $modp$ 是错误的且有误差。

但我们做除法取模又是要高效且准确无误的算法，所以这里乘法逆元就起了作用。

我们可以设 $x$ 是 $a$ 在模 $p$ 下的乘法逆元，则

$$\{\begin{array}{l}ax\equiv 1(modp)\\ \\ \frac{b}{a}\equiv ?(modp)\end{array}$$

将两式可以相乘得到

$$b·x\equiv ?·1(modp)$$

即

$$b·x\equiv ?(modp)$$

由上可知，利用乘法逆元可以避免除法取模中精确度的问题

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二、求解逆元

对费马小定理及乘法逆元有理解后，我们可以轻易求解逆元了。

$$\because a^{p-1}\equiv 1(modp)$$

$$\therefore a·a^{p-2}\equiv 1(modp)$$

不难看出 $a^{p-2}$ 即为 $a$ 关于模 $p$ 的乘法逆元。

求解逆元代码如下：

ll ksm(ll x,ll y,ll mod)//快速幂 
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans*=x,ans%=mod;
        x*=x,y>>=1;
    }
    return ans;
}

ll mul_inverse(ll b,ll a,ll mod)//求b/a(mod p)
{
    return b*ksm(a,mod-2,mod)%mod;//ksm(a,mod-2,mod)是a的乘法逆元
}

三、Lucas定理

这个定理主要用于求大组合数$\text{begin{pmatrix}{b}{a}end{pmatrix} mod p}$

定理内容：

$$\left(\begin{array}{c}b\\ a\end{array}\right)modp=\left(\begin{array}{c}b/p\\ a/p\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}bmodp\\ amodp\end{array}\right)modp$$

代码实现方法：递归或循环求解$\left(\begin{array}{c}b/p\\ a/p\end{array}\right)modp$ 即可，求组合数时用乘法逆元

至于定理证明就问度娘吧(懒得打

四、程序代码

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int T;
ll n,m,p;

ll ksc(ll x,ll y,ll mod)//快速乘 
{
    ll ans=0;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans+=x,ans%=mod;
        x<<=1,x%=mod,y>>=1;
    }
    return ans;
}

ll ksm(ll x,ll y,ll mod)//快速幂 
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=ksc(ans,x,mod),ans%=mod;
        x=ksc(x,x,mod),y>>=1;
    }
    return ans;
}

ll mul_inverse(ll x,ll y,ll mod)//求组合数对mod的取模(要用乘法逆元) 
{
    if(x<y) return 0;
    if(x==y)    return 1;//特判，不需要进行计算 
    if(y>x/2)   y=x-y;//方便计算 
    ll ans,mx=1,my=1;
    for(int i=0;i<y;i++)
    {
        mx*=(x-i),mx%=mod;
        my*=(y-i),my%=mod;
    }
    ans=mx*ksm(my,mod-2,mod)%mod;
    return ans;
}

ll lucas(ll x,ll y,ll mod)//lucas定理主体(将x和y转成mod进制) 
{
    ll ans=1;
    while(x&&y)
    {
        ans*=mul_inverse(x%mod,y%mod,mod),ans%=mod;
        x/=mod,y/=mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        printf("%lld\n",lucas(n+m,n,p));
    }
    return 0;
}

这是我之前在洛谷博客的第一篇文章。