洛谷 P1083 借教室

传送门:Probem 1083

https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/9721160.html

一、暴力简述

　　首先我们不难看出，这道题--并不是一道多难的题，因为显然，第一眼看题目时便很容易地想到暴力如何打：枚举每一种订单，然后针对每一种订单，对区间内的每一天进行修改（做减法），直到某一份订单使得某一天剩下的教室数量为负数，即可得出结果。

　　先小小的评析一下吧：凡是能打出几近正解的暴力题，都不是难题！

　　但是，显然枚举形式的暴力会很慢，期望的时间复杂度约为O(m \times n)O(m×n)。

二、思想详述

　　让我们开动脑筋想一下：每张订单其实就可以看作是一个区间（操作），左右区间分别为开始时间和结束时间，所以这不就是一个区间操作吗——首选线段tree啦！

　　先介绍一种好理解、好实现的算法：差分数组。

　　在介绍差分之前，需要介绍前缀和思想

　　我们有一组数（个数小于等于一千万），并且有一大堆询问——给定区间l、r,求l、r之间所有数之和（询问个数小于等于一千万）

　　此处暴力肯定不行啊（O（NQlength）），那么我们来观察前缀和是怎么做的：用sum[i]来存储前i个数的和，然后用sum[r]-sum[l-1]来表示l~r之间所有数的和。（l-1原因是l~r只看要包含l）而sum数组便可以通过简单的递推求出来

　　代码核心：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    cin>>a[i];
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
for(int i=1;i<=q;i++)
{
    cin>>l>>r;
    cout<<sum[r]-sum[l-1]<<" ";
}

　　而所谓的差分数组，即是前缀和数组的逆运算：

　　我们给定前i个数相邻两个数的差（1<=i<=n）,求每一项a[i]（1<=i<=n）。

　　此时无非就是用作差的方式求得每一项，此时我们可以有一个作差数组diff，diff[i]用于记录a[i]-a[i-1],然后对于每一项a[i],我们可以递推出来：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    cin>>diff[i];
    a[i]=diff[i]+a[i-1];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    cout<<a[i];
}

　　到这儿，我们可以看出来，前缀和是用元数据求元与元之间的并集关系，而差分则是根据元与元之间的逻辑关系求元数据，是互逆思想（qwq但是有时元数据和关系数据不是很好辨别或者产生角色反演啊）。

　　但是，理解了前缀和&差分，并不代表肯定能做到模板题。

三、关于答案二分

　　一般来说，二分是个很有用的优化途径，因为这样会直接导致减半运算，而对于能否二分，有一个界定标准：状态的决策过程或者序列是否满足单调性或者可以局部舍弃性。

　　 而在这个题里，因为如果前一份订单都不满足，那么之后的所有订单都不用继续考虑；

　　而如果后一份订单都满足，那么之前的所有订单一定都可以满足，符合局部舍弃性，所以可以二分订单数量。

四、正解

　　首先，要明白如为什么要用区间差分而不是区间前缀和：因为这个题每次操作针对的对象都是原本题目中给的元数据，而不是让求某个关系，所以采用差分。

　　其次，要知道差分会起到怎样的作用：因为diff数组决定着每个元数据的变化大小、趋势，所以，当我们想要针对区间操作时，前缀和可以转化成对diff数组操作：

diff[l[i]] += d[i];
diff[r[i]+1] -= d[i];//d[i]是指第 i 天要借的教室数

　　因为后面的元数据都由之前的diff数组推导出来，所以改变diff[i]就相当于改变 i 之后的每一个值，并通过重新减去改变的量，达到操作区间的目的。

　　then，我们需要想明白策略：从第一份订单开始枚举，直到无法满足或者全枚举完结束。

　　最后，一点提示，我下面的标程是通过比大小来判断是否满足，而不是作差判负数——能不出负数就别出负数。

　　以上解析来自大佬%%%%%%%:https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1083  

　　差分数组讲解--大佬博客:http://www.cnblogs.com/widsom/p/7750656.html

AC代码1：差分数组

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e6+50;

int n,m;
struct Node1
{
    int l,r;
    int d;
}ord[maxn];//订单 l : 开始时间 r : 结束时间 d : 每天需要的房间数
int rest[maxn];//rest[i] : 第 i 可以提供的房间数
int diff[maxn];//差分数组
int need[maxn];//need[i] : 第 i 天需要的房间数

bool isOk(int x)
{
    memset(diff,0,sizeof(diff));
    for(int i=1;i <= x;++i)
    {
        diff[ord[i].l] += ord[i].d;
        diff[ord[i].r+1] -= ord[i].d;
    }
    for(int i=1;i <= n;++i)
    {
        need[i]=need[i-1]+diff[i];
        if(need[i] > rest[i])
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i <= n;++i)
        scanf("%d",rest+i);
    for(int i=1;i <= m;++i)
        scanf("%d%d%d",&ord[i].d,&ord[i].l,&ord[i].r);

    if(isOk(m))
    {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    int l=1,r=m;
    while(l < r)//二分查找答案
    {
        int mid=l+((r-l)>>1);
        if(isOk(mid))
            l=mid+1;
        else
            r=mid;
    }
    printf("%d\n%d\n",-1,r);
}

线段树解法：

　　看题解前要确保会线段树区间更新的模板题(懒惰标记)以及用线段树解决RMQ问题的模板题。

变量解释：

　　rest[ i ] : 第 i 天可以提供的房间数

　　flag : 判断某订单是否满足条件，初始为false

定义的线段树结构体：

struct Node1
{
    int l,r;
    int val;
    int lazy;
    int mid(){
        return l+((r-l)>>1);
    }
    bool isEqual(){
        return l == r ? true:false;
    }
}segTree[4*maxn];

　　l,r : 左右区间

　　lazy : 懒惰标记，此处不再是表示懒惰的次数，而是表示在当前节点懒惰的值

　　val : 如果节点v是非叶节点，则其存储的是左右儿子中的val值较小的值，叶节点存储的是第 i 天可以提供的房间数

　　

题解：

　　线段树的节点存储的是区间最小值，每次区间更新时判断懒惰的区间是否满足条件 (订单需要的房间数 <= 可以提供的房间数)，如果不满足，令 flag = true,结束更新操作。

　　因为区间更新操作是顺次执行第一份订单到最后一份订单，所以第一个使flag == true的订单一定是第一个不满足条件的订单，输出此订单编号。

　　具体细节看代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ls(x) ((x)<<1)
#define rs(x) ((x)<<1 | 1)
const int maxn=1e6+50;

int n,m;
int rest[maxn];
bool flag;
//==============线段树============
struct Node1
{
    int l,r;
    int val;
    int lazy;
    int mid(){
        return l+((r-l)>>1);
    }
    bool isEqual(){
        return l == r ? true:false;
    }
}segTree[4*maxn];
void pushUp(int pos)//向上更新，左右孩子的最小值
{
    segTree[pos].val=min(segTree[ls(pos)].val,segTree[rs(pos)].val);
}
void buildTree(int l,int r,int pos)
{
    segTree[pos].l=l,segTree[pos].r=r;
    segTree[pos].lazy=0;
    if(segTree[pos].isEqual())
    {
        segTree[pos].val=rest[l];
        return ;
    }
    int mid=l+((r-l)>>1);
    buildTree(l,mid,ls(pos));
    buildTree(mid+1,r,rs(pos));
    pushUp(pos);
}
void pushDown(int pos)//向下更新
{
    if(segTree[pos].lazy > 0)//不能再懒惰了
    {
        int lazy=segTree[pos].lazy;
        segTree[ls(pos)].lazy += lazy;
        segTree[rs(pos)].lazy += lazy;
        segTree[ls(pos)].val -= lazy;
        segTree[rs(pos)].val -= lazy;
        segTree[pos].lazy=0;
    }
}
void update(int l,int r,int val,int pos)
{
    if(l == segTree[pos].l && r == segTree[pos].r)
    {
        segTree[pos].lazy += val;
        if(segTree[pos].val <  val)//判断是否满足条件
        {
            flag=true;//如果不能提供足够的房间，令 flag = true ,结束更新
            return ;
        }
        segTree[pos].val -= val;
        pushUp(pos>>1);
        return ;
    }
    pushDown(pos);
    int mid=segTree[pos].mid();
    if(r <= mid)
        update(l,r,val,ls(pos));
    else if(l > mid)
        update(l,r,val,rs(pos));
    else
    {
        update(l,mid,val,ls(pos));
        update(mid+1,r,val,rs(pos));
    }
    pushUp(pos);
}
//================================

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i <= n;++i)
        scanf("%d",rest+i);
    buildTree(1,n,1);
    flag=false;
    for(int i=1;i <= m;++i)
    {
        int d,s,t;
        scanf("%d%d%d",&d,&s,&t);
        update(s,t,d,1);
        if(flag)
        {
            printf("%d\n%d\n",-1,i);//输出第一个使 flag = true 的订单编号
            return 0;
        }
    }
    printf("0\n");
    return 0;
}