CodeForces 1204E"Natasha, Sasha and the Prefix Sums"（动态规划 or 组合数学--卡特兰数的应用）

 

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•参考资料

　　[1]:CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums（动态规划+组合数）

•题意

　　由 n 个 1 和 m 个 -1 组成的 $C_{n+m}^{n}$ 个序列；

　　对所有序列的最大前缀和求和；

　　并规定最大前缀和最小是 0；

•题解

　　定义 $(i,j)$ 表示序列由 i 个 1，j 个 -1 组成；

　　$(i,j)$ 共有 $C_{i+j}^{i}$ 种不同的组合方式；

　　$(i-1,j)$ 共有 $C_{i+j-1}^{i-1}$ 种不同的组合方式；

　　$(i,j-1)$ 共有 $C_{i+j-1}^{i}$ 种不同的组合方式；

　　如果同时在 $(i-1,j)$ 的 $C_{i+j-1}^{i-1}$ 和 $(i,j-1)$ 的 $C_{i+j-1}^{i}$ 种组合方式的末尾或开头分别插入 1 或 -1；

　　那便是 $(i,j)$ 的不同的组合方式的种类数，即 $C_{i+j}^{i}=C_{i+j-1}^{i-1}+C_{i+j-1}^{i}$；

 

　　根据 n,m 的范围（$\leq 2000$），考虑用 DP 解决这道题目；

　　首先，定义 $dp[i][j]$ 表示由 $(i,j)$ 组成的 $C_{i+j}^{i}$ 个序列，对所有序列的最大前缀和求和后的结果；

　　有上述前置知识，很容易想到 $(i,j)$ 可由 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 得到；

　　这也就是说，$dp[i][j]$ 可由 $dp[i-1][j]$ 和 $dp[i][j-1]$ 转移过来；

　　因为 $(i,j)$ 可由 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 的末尾或开头插入 1 或 -1 得到，那到底是在开头插入还是结尾插入呢？

　　因为题意让求的是前缀最大值之和，所以，我们考虑到在开头插入 1 或 -1：

• • 在 $(i-1,j)$ 的开头插入 1，也就意味着这 $C_{i+j-1}^{i-1}$ 个序列的前缀最大值都会增加 1，那么
    • $dp[i][j] += dp[i-1][j]+C_{i+j-1}^{i-1}$
  • 在 $(i,j-1)$ 的开头插入 -1，意味着这 $C_{i+j-1}^{i}$ 个序列的前缀最大值会减少 1，那么
    • $dp[i][j] += dp[i][j-1]-C_{i+j-1}^{i}+h[i][j-1]$

　　

　　$h[i][j-1]$ 是干啥用的呢？

　　由题意，前缀最大值最小为 0，所以，在 $(i,j-1)$ 的开头插入 -1 的时候，前缀最大值为 0 的序列是不会减少 1 的；

　　我们就需要将这些多减掉的 1 在加上；

　　定义 $h[i][j]$ 表示 $(i,j)$ 的 $C_{i+j}^{i}$ 个序列种前缀最大值为 0 的个数；

　　同样 $h[i][j]$ 可由 $h[i-1][j]$ 和 $h[i][j-1]$ 转移过来；

　　考虑到 $h[i][j]$ 的定义，我们这次选择在 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 的结尾插入 1 或 -1；

　　很容易想到，如果 $i > j$，一定有 $h[i][j]=0$，所以，我们考虑 $i \le j$ 的情况；

　　因为是在结尾插入的，所以，前缀最大值第一次出现的位置是不会改变的，所以有 $h[i][j]=h[i-1][j]+h[i][j-1]$；

•Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int maxn=2e3+50;
const int MOD=998244853;

int n,m;
ll dp[maxn][maxn];
ll h[maxn][maxn];
ll C[2*maxn][2*maxn];

void Init()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i < 2*maxn;++i)
        for(int j=0;j <= i;++j)
        {
            if(j == 0 || j == i)
                C[i][j]=1;
            else
                C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
            C[i][j] %= MOD;
        }
        
    mem(h,0);
    for(int j=0;j < maxn;++j)
        h[0][j]=1;
    for(int i=1;i < maxn;++i)
        for(int j=i;j < maxn;++j)
            h[i][j]=(h[i-1][j]+h[i][j-1])%MOD;


    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i < maxn;++i)
        dp[i][0]=i;
    for(int j=1;j < maxn;++j)
        dp[0][j]=0;
    for(int i=1;i < maxn;++i)
        for(int j=1;j < maxn;++j)
        {
            dp[i][j]=(dp[i-1][j]+C[i+j-1][j])+(dp[i][j-1]-C[i+j-1][i]+h[i][j-1]);
            dp[i][j]=(dp[i][j]+MOD)%MOD;
        }
}

int main()
{
    Init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%lld\n",dp[n][m]);

    return 0;
}